| clubs | diamonds | hearts | spades |
| 35 | 51 | 64 | 50 |
10 類別資料分析
譯者註 20240210完成除了jamvoi實作，本單元各種檢定方法的原理及公式說明第一次校對。
至此已經了解假設檢定的基本理論，是時候開始學習心理學研究常用的統計檢定方法。那麼應該從那種方法開始學習呢？並非所有教材作者都有共識，我(原作者)建議從“卡方檢定”（英文發音為“chi-square”1）和“t 檢定”（單元 11）開始。這兩種方法在科學研究實務經常被使用，雖然解析資料的威力不如後面單元介紹“迴歸分析”和“變異數分析”強大，對初學者來說相對容易理解。
“類別資料”（Categorical data）只是“名義尺度資料”（nominal scale data）的另一種稱呼。這不是本書尚未介紹的東西，只是在資料分析的場合，我不明白為何許多研究者習慣稱呼“類別資料”，而不是“名義尺度資料”。無論如何，類別資料分析是指處理名義尺度資料時，可以使用的一套統計方法。不過，專用於分析類別資料的方法非常多種，本單元僅介紹幾種較常用的方法。
10.1 卡方適合度檢定
卡方適合度檢定(goodness-of-fit test)是統計學者們最早開發出來的假設檢定方法之一。主要發明者是20世紀初的統計學者卡爾．皮爾森( Karl Pearson , 皮爾森相關係數以他的名字命名) (Pearson, 1900)，之後羅納德·費雪爵士(Sir Ronald Fisher) (Fisher, 1922) 做了一些改良，這個方法是檢定名義變項的觀察次數分佈是否符合預期次數分佈。像是有一組病人接受了實驗性治療，根據治療後的健康狀況分類，醫師紀錄病情是否有改善、保持不變或惡化，接著使用適合度檢定可以確定每個類別的人次，是否匹配標準治療後的預期人次。以下用一些心理學研究案例學習如何使用卡方適合度檢定。
10.1.1 撲克牌花色隨機選擇資料
過去幾十年許多人類模擬隨機現象的研究顯示，這是人類很難學成的能力。雖然每個人或多或少會試表“隨機行動”，依照模式和結構進行思考仍然是一般人難以擺脫的習慣，就算是被要求“隨機做某件事情”，實際上完全無法隨機行事，所以這類研究反過來揭露了許多人類的非隨機行為，其中透露我們如何看待世界的深刻心理問題。這一節的範例啟發自隨機行為研究，以此虛構一個非常簡單的研究。假如研究人員要求參與者想像一副已經洗好的撲克牌，然後從這副牌裡“隨機”選出一張牌。參與者選好想像中的牌之後，再選出第二張牌。參與者選擇好之後，再請他們說出選擇的花色（紅心、梅花、黑桃或方塊）。假如這個研究最後收集了 \(N = 200\) 個人選出的牌，研究人員想分析資料，確認一般人假裝選擇的撲克牌是否真的隨機。這份資料存在lsj檔案庫的 Randomness ，當讀者從 jamovi 的lsj檔案庫開啟這份資料的試算表，會看到三個變項：為每個參與者分配辨識碼id ，以及紀錄每個人先後選出的兩種撲克牌花色 choice_1 和 choice_2。
現在先看參與者第一次選擇的花色。開啟“Explore” - “Descriptives”的設定視窗，點選Frequency table選項計算每個花色被參與者們選擇的次數。得到的結果就如同 表 10.1 ：
這份小小的次數表非常有用。其中數字似乎暗示，參與者們可能偏好選擇紅心而且比較不想選擇梅花。只看表面數字並不能判斷這樣的差距是不是巧合，因此需要進行統計分析來找出答案，這就是下一節要學習的功課。
沒問題的話，接下來要分析 表 10.1 的資料囉。然後，這裡開始不得不用些數學符號討論這些資料，所以最好先認識一下每個符號的意義。首先是至目前為止一直提到“觀察值”，將用大寫字母\(O\)，而字母的下標表示觀察值在表格裡的位置。像是 表 10.1 的第二個觀察值可寫為\(O_2\)。表 10.2 說明每個花色的報告次數與代表符號之間的對應 。
| label | index, i | math. symbol | the value |
| clubs, \( \clubsuit \) | 1 | \( O_1 \) | 35 |
| diamonds, \( \diamondsuit \) | 2 | \( O_2 \) | 51 |
| hearts, \( \heartsuit \) | 3 | \( O_3 \) | 64 |
| spades, \( \spadesuit \) | 4 | \( O_4 \) | 50 |
希望這樣整理能讓讀者搞清楚。同時提醒一下，數學家更喜歡用符號討論而不是直接談論具體事項，因此接著會一直看到\(O_i\)之類的符號，這是指在第 i 類別的觀察次數（其中 i 可能是 1，2，3 或 4）。最後，如果我們要在報告裡提及所有觀察次數，統計學家習慣將所有觀察值構成一個向量 2，本書以 \(O\) 之類的大寫字母表示。
\[O = (O_1, O_2, O_3, O_4)\]
同樣的，這裡沒有什麼新奇有趣之處，一切只是符號。如果說 \(O = (35, 51, 64, 50)\)，就只是將描述觀察值的次數表，改用數學符號來表示而已。
10.1.2 虛無假設與對立假設
正如一開始的範例說明，研究者的假設是“一般人不會隨機選出想像中的撲克牌”。接著要做的是將概念中的假設，轉換為相互對立的統計假設，然後決定測試這些統計假設的統計方法。這個範例要使用的統計方法就是需要使用這一節要學習皮爾森 \(\chi^2\) 適合度檢定，規劃適合度檢定的第一步是設定虛無假設，撲克牌範例的虛無假設是很簡單地。我們先用文字說明虛無假設：
\[H_0: \text{ 四種花色被選擇的機率相等}\]
修習統計學課程的學生要學會的功課之一，就是用數學符號表達虛無假設，這裡使用 \(P_j\) 表示第j種花色被參與者 選擇的真實機率。如果研究結果符合虛無假設，那麼任何一種花色都有 25% 的機率被選中。換句話說，以上的虛無假設說明用數學符號表達的方式是\(P_1 = .25\)，\(P_2 = .25\)，\(P_3 = .25\)， \(P_4 = .25\)。因為研究人員習慣用向量符號涵括同一個變項的資料，在此用 \(P\) 表示虛無假設涵括的所有機率事件。也就是向量 \(P = (P_1, P_2, P_3, P_4)\) 表示虛無假設的機率事件集合，這麼一來可將虛無假設寫成：
\[H_0: P =(.25, .25, .25, .25)\]
對應虛無假設的向量 \(P\) ，涵括的所有事件發生機率剛好相等，不過真實的研究條件不一定會是這樣。如同這個範例的實驗任務是讓參與者從想像中的撲克牌組抽一張牌，若是這副牌的梅花數量是其他花色的兩倍，那麼虛無假設就要寫成\(P = (.4, .2, .2, .2)\)。只要機率值都是正數，且總和為 1，就能構成合法的虛無假設。因為許多使用適合度檢定的場景，是用來處理所有類別事件發生機率相等的虛無假設，以下討論繼續使用四種花色被挑選機率相等的虛無假設。
那麼對立假設 \(H_1\)是什麼呢？這道統計假設表示研究者感興趣的研究結果，也就是認為參與者的選擇不是完全隨機，因此四種花色的發生機率並不相等。所以兩則統計假設的白話版本是：
\(H_0: \text{ 四種花色被選擇的機率相等}\) \(H_1: \text{ 至少有一個選擇花色的機率不是 0.25}\)
…或者可寫成“數學家偏好的”版本：
\(H_0: P= (.25, .25, .25, .25)\) \(H_1: P \neq (.25, .25, .25, .25)\)
10.1.3 適合度檢定統計程序
到了這一步，我們手上有一組觀察次數 \(O\) 以及一組對應虛無假設的機率 \(P\)，接著就是規劃虛無假設的檢定程序。如同 單元 9 的說明，要檢測 \(H_0\) 和 \(H_1\)，就需要計算檢測統計值，構成適合度檢定的統計值是衡量資料與虛無假設之間的“接近程度”。如果資料不相符虛無假設的期望機率，那麼虛無假設呈現的情況可能不是真的。那麼，如果虛無假設是真的，檢測結果會是什麼樣子呢？或者專有名詞來問，期望次數是什麼？總共有 \(N = 200\) 次觀察，若是虛無假設為真，任何一位參與者選擇紅心的機率是 \(P_3 = .25\)，所以紅心的期望次數是 \(200 \times .25 = 50\) ，對吧？更具體的方式是用\(E_i\)代表“虛無假設為真時，研究人員期望觀察到第 i 類反應的次數”，也就是這個數學公式：
\[E_i=N \times P_i\]
這個式子不難用手計算。就像現在的200 個觀察值是分為四個類別，研究人員認為參與者會選擇任何一個類別的可能性相等，那麼每個類別應該都有50人次，對吧？
接著要如何將觀察次數和期望次數轉換為檢測統計值呢？只要比較每個類別的期望觀察次數（\(E_i\)）與各自的實際觀察次數（\(O_i\)），就能得出一個有用的檢測統計值。首先要計算虛無假設的期望次數與實際總計出的次數之間差異也就是計算“觀察次數減去期望次數”的差異值，\(O_i - E_i\)。詳細計算請見 表 10.3 。
| \( \clubsuit \) | \( \diamondsuit \) | \( \heartsuit \) | \( \spadesuit \) | |
| expected frequency \( E_i\) | 50 | 50 | 50 | 50 |
| observed frequency \( O_i\) | 35 | 51 | 64 | 50 |
| difference score \( O_i-E_i\) | -15 | 1 | 14 | 0 |
根據計算結果，選擇紅心的人數顯然比虛無假設預測的多，選擇梅花的人較少。不過稍微想一下就會發現，最後一列的差異值有負的數值！這裡的奇怪之處在於虛無假設所做的預測少於觀察次數(像示範資料的紅心)，和預測多於觀察次數(像示範資料的梅花)一樣糟糕。最簡單的解決方法是將所有數字平方，如此就可以計算平方差，\((E_i - O_i)^2\)。這樣就能算出如 表 10.4 的數值。
| \( \clubsuit \) | \( \diamondsuit \) | \( \heartsuit \) | \( \spadesuit \) |
| 225 | 1 | 196 | 0 |
現在的算出來的這組數字有明顯的特色，與虛無假設預測差異太大的類別（梅花和紅心），數字都很大；預測接近的類別（方塊和黑桃），數字都很小。為了解釋稍後的步驟，我們要將這些平方差除以期望次數 \(E_i\) ，也就是\(\frac{(E_i-O_i)^2}{E_i}\)。因為這個例子裡所有類別的 \(E_i = 50\)，用手一個一個算還挺無聊的，不過算完後會得到 表 10.5 的結果。
| \( \clubsuit \) | \( \diamondsuit \) | \( \heartsuit \) | \( \spadesuit \) |
| 4.50 | 0.02 | 3.92 | 0.00 |
這裡我們算出了四種’誤差’分數，每個分數代表用虛無假設預測實際次數，所造成的“錯誤”程度。為了轉換為檢測統計值，接下來要做的事就是將這些數字加起來。最後加起來的值就是適合度，通常在報告裡寫成\(\chi^2\)（卡方）或 適合值(GOF)。所有步驟總結如以下公式：3
\[\sum( (觀察次數 - 期望次數)^2 / 期望次數 )\]
最後得到適合度的卡方統計值 8.44。
[額外的技術細節 4]
根據以上的計算，這項研究資料分析結果得到了 \(\chi^2\) = 8.44。那麼現在的問題就是，這個值是否大到足夠拒絕虛無假設？
10.1.4 適合度檢定的樣本分佈
要確定某個 \(\chi^2\) 統計值是否大到能充分拒絕虛無假設，接著要確定如果虛無假設為真，\(\chi^2\) 的樣本分佈會是什麼，在這一節中要學習的，就是如何規劃符合適合度檢定的樣本分佈，然後下一節學習如何使用這樣的樣本分佈構建假設檢程序。如果讀者願意相信樣本分佈是具有 \(k - 1\) 自由度的 \(\chi^2\)（卡方）分佈，其實可以跳過本節。然而，如果讀者需要了解為什麼適合度檢定程序要如此安排，請繼續閱讀下去。
先假設虛無假設的說法是真的，那麼觀察值落入第 i 類的真實機率就是 \(P_i\)，這麼一來就符合對應虛無假設的向量，那這樣代表什麼意思呢？這像是擲出一枚特製的硬幣，觀察擲出那一面以決定落入類別i，而擲出那一面的的機率是 \(P_j\)。所以觀察到某一類別的實際次數 \(O_i\)，就像是擲出這枚特製硬幣N次，每次紀錄一個觀察值，最後有 \(O_i\) 次紀錄到硬幣的那一面。雖然這樣的實驗很奇怪，這樣的說明只是希望讀者了解，我們已經在前面的單元見識類似的場景，像是 單元 7 的 小單元 7.4 所示範的實驗設定。換句話說，如果虛無假設是真的，那麼多次實驗的觀察次數會符合二項分佈所構成的機率分佈：
\[O_i \sim Binomial(P_i,N) \]
若是讀者還記得 小單元 8.3.3 提到的中央極限定理，當 \(N\) 較大且 \(P_i\) 剛好在0與1中間時，二項分佈看起來幾乎與常態分佈一模一樣。換句話說，只要 \(N^P_i\) 足夠大，或者說，當期望次數 \(E_i\) 足夠大時，理論上 \(O_i\) 的機率分佈接近常態分佈。更棒的是，如果 \(O_i\) 是常態分佈的，那麼 \((O_i-E_i)/\sqrt{E_i}\) 也會接近常態分佈。因為任何一個 \(E_i\) 數值是固定的，所以實際觀察次數減去期望次數並除以期望值的開根號，相當於改變了常態分佈的平均值和標準差。為何這樣的統計值公式能計算適合度呢？因為這個公式將所有觀察值平方後加總，形成的樣本統計值可用近似的常態分佈計算可能發生的機率。等等，這就像 小單元 7.6 提到的，當我們手上有很多符合標準常態分佈的資料（平均值為 0 且標準差為 1），將所有數值平方然後加起來時，所得到的樣本數值符合卡方分佈。所以現在我們知道虛無假設所預測適合度統計值的樣本分佈符合卡方分佈。太棒了。
最後還要提一個細節，就是自由度。 小單元 7.6 曾提到把k個數值加總起來，所構成的卡方分佈的自由度就是 k。但是卡方適合度檢定的實際自由度是 \(k - 1\)，倒底是怎麼一回事呢？因為真正能加總的數值必須是獨立的。下一節我們將討論，為何全部有k個觀察值，卻只有 \(k - 1\) 個是真正獨立的，所以自由度實際上只有 \(k - 1\)。這就是下一節的主題5。
10.1.5 自由度
在 小單元 7.6 我初次向讀者介紹卡方分佈，只有稍微講一下什麼是自由度，強調這是很重要的概念。請看一下 圖 10.1 不同的卡方分佈，可知只要自由度改變了，那麼形狀劇烈改變。那麼自由度究竟是什麼呢？其實在解釋自由度與常態態分佈的關係時，就提到了一種解釋：自由度是可平方並可加成的常態分佈變項數量。當然，這樣的解釋相當抽象，對多數讀者沒有幫助。接著讓我們透過真實的資料，來嘗試理解自由度吧。
自由度的基本概念其實相當簡單，計算方法是將先算出資料的“總數”，然後減去“不可變動”的資料數目。6這樣說有點籠統，所以這裡用想像實驗的撲克牌資料再解釋一下。首先有\(O1, O2, O3, O4\)四個分別代表選出一種花色（紅心，梅花，方塊，黑桃）觀察次數的數字。這四個數字是經過實驗得到的隨機結果，其實還有一個不可變動的樣本量 \(N\)。7也就是說，如果我們知道有多少人選擇紅心，多少人選擇方塊，多少人選擇梅花，那麼就能確實知道還有多少人選擇黑桃。換句話說，雖然總體資料量是四個，實際上只有 \(4 - 1 = 3\) 個自由度。另一種角度的思理解方式是，我們想要估算四種類別的機率，但是全部類別的機率加起來必須等於一，那麼其中一個類別的機率不可變動。因此自由度是 \(4 - 1 = 3\)。無論您想用觀察次數的角度，還是機率的角度理解自由度，答案都是一樣的。通常要執行 \(k\) 組的卡方適合度檢定時，自由度都是 \(k - 1\)。
10.1.6 檢定虛無假設
一個完整的假設檢定程序，最後要規劃的是棄卻域，也就是決定那些 \(\chi^2\) 值能拒絕虛無假設。我們已經知道越大的\(\chi^2\)數值代表虛無假設的預測與真正的實驗結果差異越大，\(\chi^2\)數值越小則代表虛無假設的預測越接近真正的實驗結果。所以明智的策略要設定一個臨界值，如果 \(\chi^2\) 數值大於臨界值，就拒絕虛無假設；如果 \(\chi^2\) 小於臨界值，就保留虛無假設。用 單元 9 介紹過的詞彙，卡方適合度檢定是一種單側檢定。好了，現在要做的就是訂下臨界值是多少。方法很簡單，如果研究人員願意容忍犯下型一錯誤的機率最多\(5%\)，可以顯著水準\(\alpha = .05\)決定臨界值，如此一來，在虛無假設預測為真的前提下，能得到與臨界值一樣大的 \(\chi^2\) 數值之機率應該只有\(5%\)。如同 圖 10.2 的圖解。
上到這裡，有些同學會問，要如何找到自由度是 \(k-1\) 的卡方分佈臨界值？如果是多年前的用實體教科書上統計課，都可以在書的附錄裡看到像 圖 10.3 的表格，用來查找臨界值。在這個表中能找到自由度是3的卡方分佈臨界值，\(\alpha = 0.05\)對應的數值是 7.815。
所以，若是真正算出的 \(\chi^2\) 統計值大於 7.815，就可以拒絕虛無假設（預測每一種花色被選擇的機率相等）。即然已經算出統計值是8.44，那麼可以拒絕虛無假設。至此我們已經走完“皮爾森卡方適合度檢定”的過程，真不錯。
10.1.7 jamovi實作
毫不意外地，jamovi 提供了一個分析工具，可以幫你完成這些計算。讓我們使用 Randomness.omv 文件。在主要的“分析”工具欄中，選擇“頻率” - “單樣本比例檢驗” - “\(N\) 個結果”。然後在出現的分析視窗中將要分析的變項（從選擇 1 開始）移到“變項”框中。此外，單擊“預期計數”復選框，以便將這些資料顯示在結果表中。完成所有這些操作後，你應該會在 jamovi 中看到分析結果，如 圖 10.4。然後不出所料，jamovi 提供了與我們上面手動計算相同的預期計數和統計資料，\(\chi^2\) 值為 \((8.44\)，自由度為 \(3\)，\(p=0.038\)。注意，我們不再需要查找臨界 p 值閾值，因為 jamovi 給出了在 \(3\) 自由度下計算得出的 \(\chi^2\) 的實際 p 值。
10.1.8 另一種虛無假設
此時，你可能會想知道如果你想進行適合度檢驗，但你的虛無假設不是所有類別的機率都相等該怎麼辦。例如，假設有人提出了這樣的理論預測，即人們應該以 \(60\%\) 的機率選擇紅色牌，以 \(40\%\) 的機率選擇黑色牌（我不知道為什麼你會這樣預測），但沒有其他偏好。如果是這樣，虛無假設將期望選擇愛心的比例為 \(30\%\)，選擇方塊的比例為 \(30\%\)，選擇黑桃的比例為 \(20\%\)，選擇梅花的比例為 \(20\%\)。換句話說，我們期望愛心和方塊的出現次數是黑桃和梅花的 1.5 倍（\(30\%\) : \(20\%\) 的比例與 1.5 : 1 相同）。對我來說，這似乎是一個愚蠢的理論，但是用我們的 jamovi 分析可以很容易地測試這個明確指定的虛無假設。在分析視窗中（標記為“比例檢驗（N個結果）”的 圖 10.4 中，你可以展開“預期比例”的選項。當你這樣做時，將會出現一些選項，讓你為選定的變項輸入不同的比例值，在我們的案例中，這個變項是 choice 1。將比例更改為反映新的虛無假設，如 圖 10.5 所示，並觀察結果如何變化。
預期計數現在顯示在 表 10.6 中。
| \( \clubsuit \) | \( \diamondsuit \) | \( \heartsuit \) | \( \spadesuit \) | |
| expected frequency \( E_i\) | 40 | 60 | 60 | 40 |
\(\chi^2\) 統計量為 4.74，自由度為 3，\(p = 0.182\)。現在，我們更新的假設和預期頻率與上次的結果有所不同。因此，我們的 \(\chi^2\) 檢驗統計量和 p 值也有所不同。令人惱火的是，p 值為 \(.182\)，因此我們不能拒絕虛無假設（回顧 小單元 9.5 提醒自己為什麼）。可悲的是，儘管虛無假設對應著一個非常愚蠢的理論，這些資料並沒有提供足夠的證據來反駁它。
10.1.9 適合度檢定的報告寫作
現在你知道了這個測試的運作方式，也知道如何使用神奇的jamovi計算盒來進行測試。接下來你需要知道的是如何撰寫結果。畢竟，設計和執行實驗，然後分析資料，如果不告訴別人結果是沒有意義的！所以讓我們來談談在報告分析時需要做的事情。讓我們繼續以撲克牌花色為例。如果我想將這個結果寫成一篇論文之類的東西，那麼慣常的報告方式是這樣寫的：
在實驗的200名參與者中，有64人首選紅心，51人選擇方塊，50人選擇黑桃，35人選擇梅花。進行了卡方適合度檢驗以測試四種花色的選擇機率是否相同。結果顯著（\(\chi^2(3) = 8.44, p< .05\)），這表明人們在選擇花色時並非完全隨機。
這相當直接，希望它看起來很不起眼。儘管如此，你應該注意到這個描述中的幾點內容：
描述統計資料在統計檢驗之前。也就是說，在進行檢驗之前，我告訴讀者有關資料的一些信息。通常，這是一個很好的做法。永遠記住，你的讀者對你的資料了解得遠不如你。因此，除非你妥善地向他們描述，否則統計檢驗對他們來說毫無意義，他們會感到沮喪和哭泣。
描述告訴你正在測試的虛無假設是什麼。老實說，作者並不總是這樣做，但在存在一定歧義的情況下，或者在你不能依賴你的讀者非常熟悉你正在使用的統計工具時，這通常是一個好主意。很多時候讀者可能不知道（或記不起）你正在使用的檢驗的所有細節，所以提醒他們是一種禮貌！對於適合度檢驗來說，你通常可以依賴科學觀眾了解它的運作方式（因為它涵蓋在大多數入門統計課程中）。然而，明確陳述虛無假設（簡要地！）仍然是一個好主意，因為虛無假設可能因你使用檢驗的目的而有所不同。例如，在撲克牌的例子中，我的虛無假設是四個花色的機率相同（即，\(P1 = P2 = P3 = P4 = 0.25\)），但這個假設並沒有什麼特別的。我可以同樣使用適合度檢驗測試虛無假設，即\(P_1 = 0.7\)和\(P2 = P3 = P4 = 0.1\)。所以，向讀者解釋你的虛無假設是有幫助的。另外，注意到我用文字而不是數學描述虛無假設。這是完全可以接受的。你可以用數學描述它，但是因為大多數讀者發現文字比符號更容易閱讀，所以大多數作者傾向於用文字描述虛無假設（如果可以的話）。
包括”統計塊”。在報告檢驗結果本身時，我不僅僅說結果顯著，還包括了一個“統計塊”（即括號內密集的數學部分），其中報告了所有“關鍵”統計信息。對於卡方適應度檢驗，報告的信息包括檢驗統計量（即適應度統計量為8.44）、用於檢驗的分布信息（具有3個自由度的\(\chi^2\)，通常縮寫為\(\chi^2\)(3)），然後是結果是否顯著（在本例中為\(p< .05\)）。每個檢驗所需的統計塊中的特定信息各不相同，因此每次我介紹一個新檢驗時，我都會向您展示統計塊應該是什麼樣子。8 但是，一般原則是您應該始終提供足夠的信息，以便讀者在需要時可以自己檢查測試結果。
對結果進行解釋。除了指出結果顯著之外，我還提供了結果的解釋（即，人們沒有隨機選擇）。這對讀者也是一種友善，因為它告訴他們關於資料中發生了什麼事的一些信息。如果不包括這樣的東西，讀者很難理解發生了什麼事。9
正如其他所有事物一樣，你應該首要關注的是向讀者解釋事物。永遠記住，報告結果的目的是與另一個人溝通。我無法告訴您我看過多少次報告、論文甚至科學文章的結果部分就是胡言亂語，因為作者只關注確保包含所有數字，卻忘記了與人類讀者真正交流。
撒旦在統計和引用經文中同樣感到高興10 – H.G. 威爾斯
10.2 卡方獨立性檢定
守衛機器人 1：停！ 守衛機器人 2：你們是機器人還是人類？ 莉娜：我們是…機器人。 弗萊：呃，對！就是在機器人世界裡像機器人一樣生活的兩個機器人！呃？
守衛機器人 1：測試！ 守衛機器人 2：你最喜歡哪一個東西？A：一隻小狗，B：來自心上人的漂亮鮮花，還是C：以正確格式儲存的大量資料檔案？ 守衛機器人 1：選擇！ 《飛出個未來》第一季第5集”Fear of a Bot Planet”台詞(1999~2003於美國福斯電視網播映的喜劇動畫片；台灣無代理商引進播映)
某天我看了動畫片《飛出個未來》某一集，描述名叫Chapek 9的外星球原住民古怪風俗，能進入星球首都的訪客必須是機器器，絕不能是人類。守衛為了確認訪客是不是人類，會詢問訪客是喜歡小狗、鮮花還是格式正確的大量資料檔案。我心想：“這是相當聰明的問題，但是如果人類和機器人有相同的喜好呢？那就不是一個好的測試問題了吧？”其實，我偶然間取得了Chapek 9首都市政府用來檢查這個問題有沒有效的測試資料。他們做的測試非常簡單，就是找來一群機器人和一群人類，問他們喜歡什麼。所有資料都儲存在chapek9.omv這個檔案裡，有安裝本書資料庫模組的話，可以直接從jamovi資料庫匯入這個檔案(Chapek 9)。除了識別參與者的變項ID，還有兩個名義尺度變項，species和choice，這份資料檔案一共有180筆參與者的反應。全部資料包括93個人類和87個機器人，絕大多數參與者選擇了資料檔案。只要從’Exploration’ - ‘Descriptives’開啟描述統計設定視窗，建立次數表(frequency table)就能確認。不過，只有描述統計還無法檢測這樣的問題能不能有效區別機器人和人類，我們需要對資料進行更詳細的描述。我們要按照種族區分的各種選擇的次數，也就是建立這份資料的列聯表（cross tabulation，見 小單元 6.1 的介紹）。啟動’Frequencies’ - ‘Contingency Tables’ - ’Independent Samples’的設定視窗就能建立列聯表，成果會如同 表 10.7 。
| Robot | Human | Total | |
| Puppy | 13 | 15 | 28 |
| Flower | 30 | 13 | 43 |
| Data | 44 | 65 | 109 |
| Total | 87 | 93 | 180 |
這份列聯表清楚展現絕大多數人類參與者回答喜歡資料檔案，而機器人參與者對每一項的回答相對平衡。先不管為什麼人類可能更喜歡資料檔案（這確實看起來有點奇怪，承認吧），我們現在的目標是確定這份資料的人類和機器人的選擇差異有沒有統計顯著性。
10.2.1 獨立性假設檢定程序
要如何分析這樣的資料？由於一開始的研究假設是”人類和機器人回答問題的方式並不一樣”，假設檢定程序要測試的虛無假設應該設定為”人類和機器人回答問題的方式是一樣的”？與適合度檢定一樣，首先要定義一些描述資料的符號（表 10.8）。
| Robot | Human | Total | |
| Puppy | \(O_{11}\) | \(O_{12}\) | \(R_{1}\) |
| Flower | \(O_{21}\) | \(O_{22}\) | \(R_{2}\) |
| Data | \(O_{31}\) | \(O_{32}\) | \(R_{3}\) |
| Total | \(C_{1}\) | \(C_{2}\) | N |
根據符號表，每個 \(O_{ij}\) 代表其中一個種族的受測者j（機器人或人類）所做的選擇 i（小狗，鮮花或資料）之總計次數（觀察次數）。總計次數通常用\(N\)表示。然後，\(R_i\) 表示各項選擇的總人數，像是\(R_1\) 代表選擇鮮花的受測者人數，\(C_j\) 表示各種族受測者人數，像是\(C_1\) 代表機器人的總數。11
接著來想想虛無假設的設定。如果機器人和人類對這個問題的回答是一樣的，也就是“機器人選小狗”的機率與“人類選小狗”的機率相同，其他兩個選項的機率也是如此。所以用符號\(P_{ij}\) 表示種族j的受測者回答選項i的機率，因此虛無假設就是：
\[ \begin{aligned} H_0 &: \text{實驗結果符合以下三項：} \\ &P_{11} = P_{12}\text{ （選擇“小狗”的機率相同），} \\ &P_{21} = P_{22}\text{ （選擇“鮮花”的機率相同），還有} \\ &P_{31} = P_{32}\text{ （選擇“資料”的機率相同）} \end{aligned} \]
其實，因為虛無假設所設定的真實機率不必限定受測者的種族，符號可以再簡化用\(P_i\)代表做某個選擇的機率，例如\(P_1\)代表選擇小狗的真實機率。
接下來的程序就和適合度檢定一樣，就是計算期望次數。對應每個觀察次數\(O_{ij}\)，需要先搞清楚虛無假設預測每個觀察次數是多少，因此用\(E_{ij}\) 表示每個期望次數。這個問題的狀況有點棘手，如果種族 \(j\) 有 \(C_j\) 人，無論是那個種族的受測者做出什麼選項\(i\)的真實機率是\(P_i\)，那麼期望次數就是：
\[E_{ij}=C_j \times P_i\]
到這一步還算順利，但是遇到了一個問題。與適合度檢定程序不同的是，這裡的虛無假設實際上並未指定\(P_i\)的數值。
用資料估計未知量數是必須的步驟(需要複習的話請回 單元 8 )！幸運的是，這不難做到。若是180位參與者裡有28 位選擇了鮮花，那麼選擇鮮花的機率很自然的估計值就是 \(\frac{28}{180}\)，大約是 \(0.16\)。若是用數學式呈現估計選擇i的機率，就是用每行總次數除以總樣本次數：
\[\hat{P}_{i}= \frac{R_i}{N}\]
因此，期望次數可以改寫為各行次數與各列次數的乘積，再除以總觀察次數：12
[額外的技術細節13]
與前一個檢定程序一樣，\(\chi^2\) 的數值越大，表示虛無假設對資料的解釋越差，而 \(\chi^2\) 的數值越大，表示虛無假設對資料的解釋越好。所以如同前一種檢定程序，如果 \(\chi^2\) 數值太大，就有可能拒絕虛無假設。
不出聰明的讀者所料，這個檢定統計值遵循 \(\chi^2\) 分佈。現在要做的就是弄清楚有多少自由度，實際上這並不難知道。如同之前提到的，研究人員通常可以將自由度當成正在分析的資料點總數量，減去不可變動的資料點數量。具備 r 行和 c 列的列聯表總共有 \(r^{c}\) 個觀察次數，所以這是觀察次數的全部數量。那不可變動的有多少呢？這裡的狀況稍微複雜一些，但是答案始終是相同的
\[df=(r-1)(c-1)\]
不過要解釋為什麼自由度是這樣算，需要考慮實驗設計。為了方便說明，假如真實資料真的有 87 台機器人和 93 位人類，不過因為選擇是隨機的，讓每行的總次數自由變化，就可以考慮這裡有多少不可變動的資料點。由於題目情境已經限制了每列的總次數，所以有c 個不可變動的資料點。其實還有更多不可變動的資料點，記得虛無假設提到了需要估計的參數\(P_i\)，本書雖然不會解釋為什麼這些參數是需要考慮的，現在讀者只要知道虛無假設所列出的參數都是不可變動，如此一來，問題就簡化成這種參數有多少呢？其實很簡單，因為所有機率必須加起來等於 1，所以只有 \(r - 1\) 個。因此，卡方獨立性檢定的自由度是：
\[ \begin{split} df & = \text{(number of observations) - (number of constraints)} \\\\ & = (r \times c) - (c + (r - 1)) \\\\ & = rc - c - r + 1 \\\\ & = (r - 1)(c - 1) \end{split}\]
另一種解釋方式是，假如研究人員唯一確定的數值只有總樣本量 \(N\)。也就是說，研究人員對180位受測者進行問卷調查，結果發現 87 位是機器人，93 位是人類。現在的推論方式會不大相同，但仍然會得到相同的答案。虛無假設仍然有 \(r - 1\) 個待估計的參數，對應每個回答項目被選擇的機率值，現在要加上\(c - 1\) 個待估計的參數，對應受測者被確認是機器人的機率值。14還有，我們確定觀察值的總次數 \(N\)，這是另一個不可變動的參數。所以一共有\(rc\)項資料點，其中有 \((c-1)+(r-1)+1\) 個不可變動的資料點。那正確答案是多少呢？
這真是太神奇了。
10.2.2 獨立性檢定實作
好吧，既然我們知道了檢驗是如何進行的，讓我們看看如何在 jamovi 中完成它。雖然讓您長時間地經歷繁瑣的計算以便被迫學習可能很有吸引力，但我認為這是沒有意義的。在上一節中，我已經向您展示了如何針對適合度檢驗進行長時間的操作，而且由於獨立性檢驗在概念上沒有任何不同，所以您不會通過長時間的操作學到任何新的東西。因此，我將直接向您展示簡單的方法。在 jamovi 中運行檢驗（“頻率” - “列聯表” - “獨立樣本”）之後，您只需查看 jamovi 結果窗口中列聯表下方，那裡就是 \(\chi^2\) 統計量。這顯示了一個 \(\chi^2\) 統計值為 10.72，2 d.f.，p-value = 0.005。
那很簡單，不是嗎？您還可以要求 jamovi 顯示預期計數 - 只需單擊“Cells”選項中的“Counts” - “Expected”複選框，預期計數將出現在列聯表中。同時，在此操作中，效果大小度量會有所幫助。我們將選擇 Cramér’s \(V\)，您可以在“Statistics”選項中的複選框中指定它，它會給出 Cramér’s \(V\) 的值為 \(0.24\)。參見 圖 10.6。我們稍後會再談論這個問題。
這個輸出為我們提供了足夠的信息來寫出結果：
Pearson 的 \(\chi^2\) 顯示了物種和選擇之間存在顯著關聯（\(\chi^2(2) = 10.7, p< .01\)）。機器人似乎更傾向於說他們喜歡花，而人類更傾向於說他們喜歡資料。
注意，再次，我提供了一些解釋，以幫助人類讀者理解資料發生的情況。稍後在我的討論部分，我會提供更多的上下文。舉例來說，這是我可能會在之後說的：
人類似乎比機器人更喜歡原始資料文件，這有點反直覺。但在某種程度上，它是有道理的，因為 Chapek 9 上的民事當局往往在發現人類時會將其殺死並解剖。因此，最有可能的是，人類參與者並未如實回答問題，以避免可能產生不良後果。這應該被認為是一個嚴重的方法論缺陷。
我想，這可以被歸類為反應效應的一個極端例子。顯然，在這種情況下，問題嚴重到研究幾乎毫無價值，作為理解人類和機器人之間的差異偏好的工具。然而，我希望這能夠說明在獲得統計顯著結果（我們拒絕虛無假設，轉而接受替代假設）和找到具有科學價值的東西（由於嚴重的方法論缺陷，資料對我們研究假設的興趣一無所知）之間的區別。
10.3 卡方檢定的校正
好了，是時候稍微離題一下下，其實談到這裡，我隱瞞了一點細節沒有交待。自由度只有 1 的時候，需要稍微改變計算方法。這被稱為 “連續性修正(continuity correction)”，或者葉氏修正(Yates correction)。記得稍早提到：\(\chi^2\) 檢定的統計值是一種近似值，嚴格來說是假設當 \(N\)的值夠大時，二項分佈會逼近常態分佈。然這依賴這條假設的問題是，現實的研究問題很少遇到這種條件，尤其是自由度只有 1 的時候，像是用\(2 \times 2\)規模的列聯表進行獨立性檢定。無法保證這種資料的機率分佈逼近常態分佈，原因是處理的資料是分類資料！所以\(\chi^2\)統計值的真實樣本分佈其實是離散的，但是\(\chi^2\) 分佈是連續的。如此會導致系統性問題：當\(N\)很小且 \(df = 1\) 時，適合度統計值往往”過大”，需要比原來預設更大的\(\alpha\)，或者更小的p值，才能正確拒絕虛無假設。
根據描述葉氏修正的論文主張，這種修正其實是一種操作方法的破解。15因為修正方法不是基於任何機率或統計理論，而是檢討多數分析人員的操作行為，經過測試發現經過校正後的統計值似乎比較正確。讀者可以在 jamovi 卡方檢定模組的操作視窗， 於’Statistics’這個部分勾選 \(\chi^2\) continuity correction，就能輸出校正後的統計值。
10.4 卡方檢定的效果量
稍早在 小單元 9.8 提到，現在各種要求研究人員在報告中說明效果量測量指標的規範越來越普遍。若是現在已經完成了卡方檢定，結果顯示有統計顯著性，表示我們能肯定所探討的變項之間存在某種關聯（獨立性檢定）或特定條件之間存在某種差異（適合度檢定）。那麼要如何報告其中的效應量強度，也就是變項條件之間關聯性或差異程度？
有好幾種不同的測量指標可在報告裡呈現，而且有好幾種公式和程式能做計算。這裡不會介紹所有可用的測量指標，只重點介紹最多報告使用的效果量測量指標。最常見於研究報告，以及最多統計軟體預設計算的指標是 \(\phi\)，以及克拉默氏\(V\)(Cramér’s V)。
[額外的技術細節16]
10.5 卡方檢定的適用條件
所有統計檢定都有適用條件，檢查手上的資料是否符合適用條件是一個好主意。至此討論過的卡方適合度檢定及獨立性檢定，適用條件包括：
期望次數足夠大。還記得 小單元 10.2 提到 \(\chi^2\) 統計值的機率分佈是如何產生的嗎？因為二項分佈非常逼近常態分佈，正如 單元 7 所提到的，只有在觀察次數足夠多的狀況下才會成立，這表示所有可用卡方檢定的資料期望次數都需要大到一個合理程度。那什麼是合理程度？目前學術界意見分歧，不過最起碼的共識是列聯表裡的所有期望次數至少要大於5。對於規模較大的表格，還可以期待至少有80%的期望次數大於5，並且沒有一個項目的期望次數小於1。然而，就原作者所找到的文獻（像是 Cochran (1954) ），這些條件設定似乎只是粗略的指導原則，而非硬性規定，並且主張似乎有些保守 (Larntz, 1978)。
資料彼此獨立。另一個卡方檢定稍微不嚴格的適用條件 是，研究人員必須相信每一項觀察結果是彼此獨立的。例如，我偶然得知某家醫院出生的嬰兒性別比例似乎很懸殊，我私下走訪這家醫院的產房，紀錄到20名女嬰和10名男嬰，看起來性別比例差異很大對吧？其實這個紀錄是我分別在十個不同的日子去參觀，每次都只看到了2名女嬰和1名男嬰。這樣的紀錄不再那麼令人信服了，是吧？表面上的30筆觀察完全不彼此獨立，實際上只相尚於3個彼此獨立的觀察結果。這顯然是一個非常極端而且容易看出缺陷的例子，但其中指出了獨立性的基本問題。有時違反獨立性的資料，就像前述的走訪醫院的例子那樣，會導致研究人員錯誤地拒絕虛無假設，但是也可能朝相反的方向發展。為了幫助讀者認識不容易看出缺陷的狀況，這裡用 小單元 10.1 提到的撲克牌實驗做一些修改來說明。假如研究人員不是要求200個人各自想像隨機抽出一張撲克牌，而是要求50個人各自選出4張撲克牌，其中一種可能的結果是每個人都會善用“代表性捷思法”(Tversky & Kahneman, 1974)，抽出一張紅心、一張梅花、一張方塊和一張黑桃。這是人類自主意識造成的非隨機行為，但在這種實驗狀況，研究人員能預期四種花色都會出現50次觀察次數。因為參與者的四次選擇彼此關聯，破壞每次觀察結果的獨立性，導致統計檢定結果將錯誤地保留了虛無假設。
如果讀者懷疑手上的資料違反獨立性的條件，可以使用稍後會介紹的麥內瑪檢定( McNemar Test)或者本書不會介紹的 Cochran 檢定加以確認。若是覺得期望次數太小，可以使用費雪精確檢定。這一章最後兩個部分將簡單介紹費雪精確檢定與麥內瑪檢定。
10.6 費雪精確檢定
若是每個觀察次數太小，但還是需要檢驗兩個變項是否獨立的虛無假設，該怎麼辦？一種辦法是“收集更多資料”，但這樣做太隨便了。許多行為科學研究要收集比計畫目標更多的資料不是不可行，就是會違反研究倫理。統計學者有必要幫助研究人員解決倫理困境，提供一種更好的檢定方法。 Fisher (1922) 提出的精確檢定剛好能解決這個況的問題。為了方便說明，我們設定正在分析一個田野實驗的資料，研究對象是被指控為巫師，被綁在火刑柱上的情緒狀態，而且有些柱子已經開始燒起來了。17，雖然鄉民們會因為巫師被燒死而安心，但是研究人員很難找到正在被燒的巫師。如果真的要收集，觀察次數會非常小。salem.csv(lsj資料集Salem)儲存的 資料列聯表表現了這一點（整理結果參見 表 10.9 ）。
| happy | FALSE | TRUE | |
| on.fire | FALSE | 3 | 10 |
| TRUE | 3 | 0 |
看了列聯表，研究人員很難不懷疑還沒被火燒的人，他們感覺的情緒可能比正在被火燒的人快樂。不過，因為樣本數很小，卡方檢定很難適用。做為一個不想被處火刑的嫌犯，非常希望有更肯定的答案，這就是費雪精確檢定（Fisher’s exact test）(Fisher, 1922) 能派上用場的地方。
費雪精確檢定不同於卡方檢定，還有這本書介紹的其他假設檢定方法，因為這套方法沒有檢定統計值，而是“直接”計算 p 值。以下說明費雪精確檢定用在分析 \(2 \times 2\) 列聯表的基本原理，與之前的單元一樣，我們要先定義一些符號（表 10.10）。
| Happy | Sad | Total | |
| Set on fire | \(O_{11}\) | \(O_{12}\) | \(R_{1}\) |
| Not set on fire | \(O_{21}\) | \(O_{22}\) | \(R_{2}\) |
| Total | \(C_{1}\) | \(C_{2}\) | \(N\) |
為了設定檢定程序，費雪將各行及各列的總次數（\(R_1, R_2, C_1\) 和 \(C_2\)）都視為已知的固定值，然後根據這些總次數不變的前提，計算研究人員會得到實際觀察次數（\(O_{11}, O_{12}, O_{21}\) 和 \(O_{22}\)）的機率。運用我們在 單元 7 學到的機率符號表達規則，寫成的公式就是：
\[P(O_{11}, O_{12}, O_{21}, O_{22} \text{ | } R_1, R_2, C_1, C_2)\]
大部分讀者要搞清楚這是什麼樣的機率分佈是有點困難的任務，實際地說，這個機率函數符合所謂的超幾何分佈(hypergeometric distribution)。要計算 p 值，首先要計算觀察到這個表格內的數值，或者一個數值更“極端”的表格之機率。18在 20 世紀 20 年代，即使是狀況最單純的研究問題，要做到這樣的計算是相當令人害怕的工作，不過現在只要表格不是太大，樣本數不是太龐大，一般計算設備都能輕易處理。真正棘手的問題是，要弄清楚一個列聯表比另一個列聯表更“極端”，是怎樣的概念？最簡單的解決方案是，出現機率最低的表格是最極端的，我們只要知道這個表格的 p 值。
從 jamovi Analysis界面開啟Frequencies-Independent Samples開啟Contingency Tables設定視窗，其中Statistics子選項裡有Fisher's excat test。若是已經載入Salem資料並設定好變項，就能在報表看到費雪精確檢定的統計結果。因為這種檢定方法只有輸出p值，由於這個範例的p 值足夠小（p = .036），足以拒絕那些正在被處刑的人和還沒有被處刑的人一樣快樂的虛無假設。輸出結果請參考 圖 10.7。
10.7 麥內瑪檢定
想像一下你是澳大利亞全民黨(AGPP)的基層黨工19，被上級交辦要分析AGPP投放的政治宣傳有效程度，因此你找來總共\(N = 100\)有投票權的公民，請他們觀看AGPP的宣傳廣告。在播放宣傳內容之前，你先問他們是否打算投票給AGPP，播放廣告之後再問他們一次，看看有沒有人會改變主意。如果你是非常專業的幕僚，還會做更多事情，現在讓我們先看一下這個簡單實驗的結果，一種描述資料的方法就是建立如同 表 10.11 的列聯表。
| Before | After | Total | |
| Yes | 30 | 10 | 40 |
| No | 70 | 90 | 160 |
| Total | 100 | 100 | 200 |
也許你可能會認為這種問題適合用皮爾森\(\chi^2\)獨立性檢定處理，不過仔細想一下就會發現這樣做不切實際：雖然有100名參與者，全部資料卻有200個觀察值，這是因為每個人在”看廣告之前”和”看廣告之後”都有給出回應，也就是說這200個觀察值彼此之間並不獨立。如果選民A第一次說“是”，選民B說“否”，可以預期選民A第二次比選民B更可能說“是”！。因為違反了樣本獨立性的條件，\(\chi^2\)檢定的結果就會非常不可靠。如果這是一個相當罕見的狀況，我不會特別編寫一個小單元來討論，但是這種狀況並不罕見。最尷尬的是，這個例子是一個標準的重複測量設計，已介紹至此的任何檢定方法都無法處理。
能解決這種問題的檢定方法來自McNemar(1947)這篇論文，訣竅是先用稍微不同的方式整理列聯表，就像 表 10.12。
| Before: Yes | Before: No | Total | |
| After: Yes | 5(a) | 5(b) | 10 |
| After: No | 25(c) | 65(d) | 90 |
| Total | 30 | 70 | 100 |
接著重新設定這個問題的虛無假設：“看宣傳內容之前”及“看宣傳內容之後”，兩種條件的測試有相同比例的人會回應：“是的，我會投票支持AGPP。”因為列聯表已經重新整理，這代表我們假設各行總次數和各列總次數都是來自相同的樣本分佈，也就是說麥內瑪檢定的虛無假設代表樣本資料的邊際同質性(marginal homogeneity)：第一行總次數等於第一列總次數\(P_a + P_b = P_a + P_c\)，以及第二行總次數等於第二列總次數\(P_c + P_d = P_b + P_d\)。請注意，這表示虛無假設只要設定為\(P_b = P_c\)，所以設定麥內瑪檢定程序，重要的只有列聯表中的對角格內數值。了解這一點後，執行麥內瑪邊際同質性檢定(McNemar test of marginal homogeneity)應注意的適用條件與卡方檢定完全一樣。經過葉氏校正後，統計值的公式就是：
\[\chi^2=\frac{(|b-c|-0.5)^2}{b+c}\]
或者用這個單元一開始使用的公式改造：
\[\chi^2=\frac{(|O_{12}-O_{21}|-0.5)^2}{O_{12}+O_{21}}\]
這個統計值逼近自由度為1(df = 1)的\(\chi^2\)分佈（近似），自由度df = 1。不過務必記得，如同正規的\(\chi^2\)檢定，這只是一個近似值，只有觀察次數夠大才不需要使用校正後的統計值。
10.7.1 實作麥內瑪檢定
現在您已經了解麥內瑪檢驗的所有內容，讓我們實際運行一個。agpp.csv 文件包含了我之前討論過的原始資料。agpp 資料集包含三個變項，一個id變項標記資料集中的每個參與者（我們將在片刻之後看到這有什麼用），一個response_before 變項記錄了當他們第一次被問到這個問題時的答案，以及一個response_after變項顯示他們在第二次被問到同樣問題時給出的答案。注意每個參與者在這個資料集中只出現一次。在jamovi中，轉到 ‘Analyses’ - ‘Frequencies’ - ‘Contingency Tables’ - ‘Paired Samples’ 分析，並將response_before 放入 ‘Rows’ 框，將response_after 放入 ‘Columns’ 框。然後，您將在結果窗口中獲得一個列聯表，麥內瑪檢驗的統計資料就在它下面，參見 圖 10.8 。
我們完成了。我們剛剛運行了一個麥內瑪檢驗，以確定人們在廣告後是否和廣告前一樣有可能投票支持AGPP。檢驗是顯著的（\(\chi^2(1)= 12.03, p< .001\)），表明他們並非如此。事實上，看起來廣告產生了負面影響：人們在看過廣告後，投票支持AGPP的可能性更低。考慮到典型政治廣告的質量，這是很合理的。
10.7.2 與獨立性檢定有可分別?
讓我們回到本章的開頭，再次查看卡片資料集。如果您回憶一下，我描述的實際實驗設計涉及人們進行兩次選擇。因為我們有關於每個人第一次選擇和第二次選擇的信息，我們可以構建以下列聯表，用於將第一次選擇與第二次選擇交叉列聯（表 10.13）。
| Before: Yes | Before: No | Total | |
| After: Yes | \(a \) | \(b \) | \(a + b \) |
| After: No | \(c \) | \(d \) | \(c + d \) |
| Total | \(a+c \) | \(b+d \) | \(n \) |
假設我想知道第二次選擇是否取決於第一次選擇。這是獨立性檢驗有用的地方，我們試圖做的是看看這個表格的行和列之間是否存在某種關係。
另外，假設我想知道平均而言，第二次選擇的花色頻率是否與第一次選擇不同。在這種情況下，我真正想做的是看看行總數是否不同於列總數。這就是您使用麥內瑪檢驗的時候。
這些不同分析產生的不同統計資料顯示在 圖 10.9 中。注意結果是不同的！這些檢驗並不相同。
10.8 本章小結
本章的學習重點有：
- 卡方適合度檢定用於你的表列資料是來自不同類別的觀察次數，虛無假設是可相互比較的已知機率。
- 卡方獨立性或關聯性檢定用於你的資料是能化為列聯表的觀察次數。虛無假設是兩種變項之間沒有關聯性。
- 列聯表的效果量有多種測量方法。在此介紹最常見的Cramér’s V。
- 上述的卡方檢定法有兩種適用條件：期望值次數夠大，觀察值彼此獨立。如果期望值次數不夠大，可以使用費雪精確檢定；如果觀察值並非彼此獨立，可以使用麥內瑪檢定。
如果想學習更多類別資料分析方法，推薦閱讀 Agresti (1996) 的專書”類別資料分析導論”。如果基礎教科書無法滿足你的需要，或者未提供解決手上問題的方法，可以參考 Agresti (2002) 的進階書藉。因為是進階書，建議先充分理解導論再來學習進階教科書。
繁體中文報告常直接稱呼“卡方”。↩︎
向量是由相同測量尺度的資料值所構成的序列。↩︎
譯註~原文這裡可能寫錯↩︎
如果說 k 是指資料的類別數目（在這個研究資料是指撲克牌花色，所以 k = 4），則 \(\chi^2\) 統計值可用這個公式計算：\[\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\] 如果 \(\chi^2\) 統計值很小，代表觀察次數 Oi 非常接近虛無假設預測的次數 \(E_i\) ，因此 \(\chi^2\) 統計值要夠大，才能拒絕虛無假設。↩︎
如果將適合度統計值的方程式重寫為 k - 1 個獨立觀察值之和，就會得到“正確的”樣本分佈，也就是自由度為 k - 1 的卡方分佈。要談這麼多數學細節就超出了這本入門書的範圍，這裡只給初學的讀者一個適合度統計值與卡方分佈關聯密切的直觀。↩︎
我必須強調，這是一種過度簡化的解釋。雖然這種解釋適用多數情況，但是偶爾會遇到自由度並非整數的狀況。為了不要讓讀者過於困擾，遇到這樣的狀況時，只要告訴自己“自由度”其實是一種有點混亂的數學概念，初學的讀者通常只會知道簡單的解釋而非完整的解釋。以入門課程來說，簡單的解釋通常是最好的學習材料，但讀者需要知道總有一天這樣的解釋無法幫助你更進一步的學習，如果沒有先做好心理準備，有天看到了 \(df = 3.4\) 或類似的狀況就會感到困惑，以為你在這裡學到的是錯誤的觀念，其實是有些複的細節先不做交待。↩︎
其實樣本量並不是永遠固定的數值。例如，實驗可能是在固定時段裡執行，參與人數取決於實際會有多少人參加。這些因素對於目前的學習目標並不重要。↩︎
嗯，有點。如何報告統計資料的慣例在不同的學科之間有所不同。我傾向於堅持心理學的做法，因為這就是我的工作。但是，我認為向讀者提供足夠的信息，以便他們可以檢查你的結果的一般原則是相當普遍的。↩︎
對有些人來說，這個建議可能聽起來有點奇怪，或者至少與編寫技術報告的“通常”建議相衝突。通常，學生們被告知報告的“結果”部分是用來描述資料並報告統計分析，而“討論”部分是提供解釋的。這在某種程度上是對的，但我認為人們經常過於照字面解釋它。我通常的做法是在結果部分提供對資料的快速而簡單的解釋，以便我的讀者理解資料告訴我們什麼。然後，在討論中，我嘗試講述一個關於我的結果如何與其他科學文獻相適應的更大的故事。簡而言之，不要讓“解釋屬於討論”這個建議使你的結果部分變得難以理解。讓讀者明白你的意思更重要。↩︎
如果你一直在仔細閱讀，並且像我一樣是一個數學苛刻的人，那麼上一節中我寫卡方檢驗的方式可能會讓你有點困擾。你可能會想，用 “\(\chi^2(3) = 8.44\)” 這樣寫感覺有點不對勁。畢竟，是適合度統計數等於8.44，所以我不應該寫 \(X^2 = 8.44\) 或者 \(GOF = 8.44\) 嗎？這似乎混淆了抽樣分布（即\(\chi^2\)與df=3）與檢驗統計量（即\(X^2\)）。可能性是你認為這是錯字，因為\(\chi\)和X看起來非常相似。奇怪的是，這並非如此。寫 \(\chi^2\)(3)= 8.44 本質上是一種高度縮略的寫法，表示“檢驗統計量的抽樣分布為\(\chi^2\)(3)，檢驗統計量的值為8.44”。從某種意義上說，這有點愚蠢。有很多不同的檢驗統計量最終具有卡方抽樣分布。我們用於適合度檢驗的\(X^2\)統計量只是眾多統計量中的一種（儘管是最常見的一種）。在一個明智、完全組織的世界裡，我們總是為檢驗統計量和抽樣分布分配一個單獨的名字。這樣，統計塊本身就可以告訴你研究者究竟計算了什麼。有時這確實是可能的。例如，Pearson適合度檢驗中使用的檢驗統計量寫作\(X^2\)，但還有一種與G-test\(^a\) (Sokal & Rohlf, 1994)關係密切的檢驗稱為G-test，其中檢驗統計量寫作\(G\)。事實上，Pearson適合度檢驗和G-test都檢驗相同的虛無假設，抽樣分布完全相同（即，具有\(k-1\)自由度的卡方分布）。如果我對卡片資料進行G-test而不是適合度檢驗，那麼我最終會得到一個檢驗統計量\(G = 8.65\)，它略有不同於我之前得到的\(X^2 = 8.44\)值，並產生稍微小一點的p值\(p = .034\)。假設約定俗成地報告檢驗統計量，然後是抽樣分布，然後是p值。如果是這樣的話，這兩種情況將產生不同的統計塊：我原來的結果將寫成\(X^2 = 8.44\)，\(\chi^2(3)\)，\(p = .038\)，而使用G-test的新版本將寫成\(G = 8.65\)，\(\chi^2(3)\)，\(p = .034\)。然而，使用縮略報告標準，原始結果寫作\(\chi^2(3) = 8.44, p =.038\)，新結果寫作\(\chi^2(3) = 8.65, p = .034\)，所以實際上不清楚我實際上運行了哪個檢驗。那麼為什麼我們不生活在一個統計塊的內容能唯一確定哪些檢驗被執行的世界呢？根本原因是生活是混亂的。我們（作為統計工具的用戶）希望它整齊、有序並且有組織。我們希望它像產品一樣被設計，但這不是生活的運作方式。統計是一門與其他任何學科一樣的智力學科，因此它是一個大規模的分布式、部分協作和部分競爭的項目，沒有人真正完全了解它。你和我作為資料分析工具的東西並非由統計之神的行為創造的。它們是由很多不同的人發明的，作為學術期刊中的論文發表，由很多其他人實施、糾正和修改，然後由其他人在教科書中向學生解釋。因此，有很多檢驗統計量甚至沒有名字，因此它們只是被賦予與相應抽樣分布相同的名字。稍後我們將看到，任何遵循\(\chi^2\)分布的檢驗統計量通常被稱為“卡方統計量”，遵循\(t\)分布的任何統計量被稱為“t統計量”，等等。但是，正如\(\chi^2\)與\(G\)的例子所說明的，具有相同抽樣分布的兩個不同事物仍然是不同的。因此，有時候明確表明你實際上運行的檢驗是很好的主意，特別是如果你在做一些不尋常的事情。如果你只說“卡方檢驗”，實際上並不清楚你在談論哪種檢驗。儘管如此，由於兩個最常見的卡方檢驗是適合度檢驗和獨立性檢驗，大多數具有統計培訓的讀者可能都能猜到。儘管如此，這仍然是需要注意的事情。—\(^a\) 讓事情變得複雜的是，G-test是一整類被稱為似然比檢驗的檢驗的特例。我在這本書中沒有介紹LRT，但它們確實是值得了解的好東西。↩︎
技術說明。這個範例資料所設定的各列總次數是固定的（研究者手上只有87個機器人和93個人類的資料），各行總次數則是隨機的（碰巧有28個受測者選擇了小狗）。根據原作者主要引用的統計教科書所使用的專有名詞(Hogg et al., 2005)，應該將適用這類問題的假設檢定方法稱為「卡方同質性檢定」(a chi-square test of homogeneity)，「卡方獨立性檢定」應該是指每行及每列的總次數都是隨機結果的研究問題。這本書之前的版本裡，都是區分這兩種檢定這樣做的。然而事實上，這兩種檢定的程序是相同的，所以這裡將兩種檢定方法視為一種。↩︎
就嚴格的統計操作來說，\(E_{ij}\) 是估計值，所以應該寫成 \(\hat{E_{ij}}\)。但很少有統計教科書這樣寫，這裡也採用相同的寫法。 \[\hat{E}_{ij}= \frac{R_i \times C_j}{N}\]↩︎
現在已經學會如何計算期望次數，根據從適合度檢定學到的策略，定義一個檢定統計值非常容易，其實兩種方法用的統計值幾乎是相同。以具備 r 行和 c 列的列聯表來說，計算 \(chi^2\) 統計值的公式是 \[\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(E_{ij}-O_{ij})^2}{E_{ij}}\] 唯一的差異是獨立性檢定的統計值公式必須用兩個連加符號（\(\sum\) ），表示分別要求行的總和及列的總和。↩︎
現實中很多人都會害怕的數學推導。\[\begin{split} df & = \text{(觀察值總次數) - (不可變動的資料點次數)} \\\\ & = (r \times c) - ((c-1) + (r - 1)+1) \\\\ & = (r- 1)(c - 1) \end{split} \]↩︎
Yates (1934) 提出了一個簡單的校正公式，將適合度統計值重新定義為：\[\chi^{2}=\sum_{i}\frac{(|E_i-O_i|-0.5)^2}{E_i}\] 基本上，他將所有公式裡的數值都減了 0.5。↩︎
\(\phi\) 與 Cramér’s V的數學公式非常簡潔。要計算 \(\phi\)，只需將的 \(\chi^2\)統計值除以樣本大小，然後取平方根：\[\phi=\sqrt{\frac{\chi^2}{N}}\] \(\phi\)的值域只在0（完全無關聯）和 1（完全關聯）之間，但是當列聯表規模大於 \(2 \times 2\) ，就不適合用這個指標計算了。因為規模更大的列聯表，有可能會獲得大於1的數值，這是令人感到相當麻煩的。所以更多人喜歡使用 Cramer (1946) 提出的\(V\)來測量列聯表統計檢定的效量。調整方法非常簡單，如果有一個 r 行和 c 列的列聯表，那麼定義 \(k = min(r, c)\) 取兩個值中較小的那個，放到計算 \(\phi\)的公式裡就變成計算Cramér’s V的公式\[V=\sqrt{\frac{\chi^2}{N(k-1)}}\]讀者很容易就能算出兩種效果量測量值。這兩種效果量指標相當受歡迎，可能是因為容易計算，又不會讓人覺得有虛應故事的感覺。用了Cramér’s ，還能確認變項之間的相關程度確實在 0（完全無關聯）和 1（完全關聯）。↩︎
這個例子來自發表在Journal of Irreproducible Results的一則笑話。↩︎