第5單元 單一樣本的推論統計

這個單元介紹第一種推論統計方法：單一樣本檢定。這類方法雖然少見於心理科學研究，但是使用上要注意的基本條件相對較少，是許多統計教材的推論統計入門單元。

透過第1單元登場的Emily Rosa專題研究，我們以這個例子學習假設檢定的基本觀念，並運用二項檢定及單一樣本t檢定分析Emily Rosa的資料。學習t檢定分析的運程，我們將認識另一種連續型隨機變數：t分數，以及其機率函數：t分佈。還有學習信賴區間的觀念與使用方法。

5.1 預先註冊

解說如何使用統計方法之前，請讀者先認識預先註冊(preregistration)(Lindsay, Simons, & Lilienfeld, 2016)。預先註冊是一種將科學思考轉化為可徵信報告的流程，就統計實務來說，只有兩個步驟。步驟一：執行分析之前先留下計畫，說明用什麼統計方法分析手上的資料，判斷分析結果的標準是什麼；步驟二：按照計畫程序分析資料，呈現按計畫程序得到的分析結果。

使用任何新的統計方法時，可以透過預先註冊檢視自已有沒有學到正確的使用方法。要留下分析計畫，你必須掌握使用這種統計方法分析手上資料的合理性，以及了解各種分析結果的意義。做法看似很簡單，但是經驗越豐富的研究者，在養成過程中如果沒有建立清楚的觀念，遇到不如預期的資料，經常會陷入天人交戰的局面。只要是按步就班收集資料，無論分析結果是否符合預期，呈現出來都有助科學知識的更新。雖然預先註冊還沒有完全被全世界心理科學家接受，甚至正確認識，正在開始學習統計的你，了解預先註冊的觀念，可以培養判斷分析結論的。

5.2 虛無假設顯著性檢定

我們在單元4.6得知次數主義的要旨，是根據得到某種分析結果的假設為前提(\(\theta\))，評估觀察得到當下資料(D)的條件機率(\(P(\frac{D}{\theta})\))。這個條件機率能以對應的機率函數計算與模擬，關鍵在於許多問題一開始無法明確預測會得到什麼結果，只能確定最不可能被現在的觀察資料證實的假設，得到當前結果的條件機率(\(P(\frac{D}{\theta})\))必定不會超過研究者能接受的水準。這種假設被稱為虛無假設(Null Hypothesis，許多統計教材簡記為\(H_0\))，以虛無假設的機率分佈計算得到當前結果的條件機率，就是p值。這是虛無假設顯著性檢定的基本思考方式，也是本書介紹的所有統計方法的運作流程。

5.2.1 虛無假設與對立假設

我們在單元@ref(#probability-permutation)討論投擲一枚正反面出現機率相等的硬幣，做一系列試驗得到的所有結果之可能機率，可用適當的機率函數計算。這個試驗案例改編自第一個本寫進教科書的假設檢定案例(Fisher, 1966)，教科書的作者Ronald Fisher是假設檢定方法的奠基者之一。在Fisher的著作中，他提到曾在一次英式下午茶場合，遇到一位女士宣稱有能力分辨喝下的奶茶是先倒茶再加牛奶，還是先倒牛奶再加茶。當場他設計一個實驗，安排四杯奶茶先倒茶再加牛奶，以及四杯奶茶先倒牛奶再加茶，配成四組請這位女士一一試喝，每一組會先喝到那一種由調製者隨機決定。這個設計如同有四枚硬幣，先不讓對方看投擲的結果，請對方猜正面與反面朝上各有多少枚。

Fisher如此設計的想法，是因為在場沒有人真的知道那位女士的分辨能力。如果這位女士的能力可以量化，我們可以假設她正確分辨一對奶茶調製方法的機率是\(\theta_1\)，根據二項分佈機率函數，她正確分辨所有奶茶如何調製的比率就是\(P(\theta_1)\)。但是既然沒有人知道她的真本事，就算測試結果是百分之百，也無法說服眾人\(\theta_1\)就是1。當時的Fisher有一個假設：如果這位女士是靠猜測的，每一組分辨成功的機率是50%，簡記為\(\theta_0\)。運用單元3.3.1學習到二項分佈計算方法，可以算出要正確猜對至少三對的機率是0.24，全部猜對的機率則是0.01。也就是說，這位女士全靠猜測的話，四組奶茶的測試全部正確的機率不到5%。

Fisher的奶茶試驗所設定的\(\theta_0\)，就是現代推論統計進行分析之前，要設定的虛無假設\(H_0\)；當時想測試但是沒人知道的分辨能力就是對立假設(alternative hypothesis, \(H_1\))。對於試驗結果的判斷，Fisher的判斷原則來自計算的機率函數，但是現代推論統計的判斷原則來自模擬的機率函數。後者是與Roland Fisher同時代的兩位統計學者，Jerzy Neyman與Egon Pearson的貢獻，也是現代推論統計方法需要根據p值判斷分析結果的原因。

要了解如果運用模擬的機率函數進行虛無假設統計檢定，我們設定Fisher的奶茶試驗擴張到20組奶茶，如果這位女士每次測試的答對率有95%，就能模擬虛無假設與對立假設的機率分佈，也就是一次答對率各為0.5與0.95，試驗次數都是20次的二項機率分佈。

以答對率0.95的二項機率分佈製造這位女士可能的答對次數，放到答對率0.5的二項機率分佈，就能算出如果她是靠猜測的，發現這項結果的條件機率，也就是p值。我們知道次數主義的宗旨是長期實驗結果的累積，模擬10000次結果，就能製造10000筆p值。

表 5.1: 10000次奶茶試驗結果的p值累積次數
p_values Freq
0 7350
2e-04 1903
8e-04 590
0.0051 128
0.0208 27
0.0612 1
0.1372 1

由表5.1可知，10000次實驗裡，大於.05的結果有4筆，大於.01的結果總計16筆。許多運用虛無假設顯著性檢定的分析，採用.05或.01為檢定水準的理由來自類似的模擬程序。研究者要採用那一種檢定水準，最佳的策略是了解要測試的虛無假設與對立假設性質。看過計算的與模擬的機率函數，我們可以歸納兩者性質如下：

  • 虛無假設(\(H_0\))：發現當下實驗結果的機率相對較低的機率分佈。
  • 對立假設(\(H_1\))：發現當下實驗結果的機率相對較高的機率分佈。

5.2.2 型一與型二錯誤率

有了檢定水準，做出的結論立刻產生兩個問題：(1)錯誤肯定(False Positive)～p值小於檢定水準，判定資料不支持虛無假設，實際上結論錯誤。(2)錯誤否定(False Negative)～p值大於檢定水準，判定資料支持虛無假設，實際上結論錯誤。放到模擬的虛無假設與對率假設機率函數，對應檢定水準的量數，換算的累積機率是做出錯誤肯定與錯誤否定結論的犯錯率，一般也稱為型一錯誤率與型二錯誤率。以前面一次測試20組奶茶的例子來說，我們設定答對18組是檢定水準，運用示範檔案的模擬程序，就可以得到如表??的型一錯誤率(H0 is true, Reject H0)與型二錯誤率(H0 is false, Accept H0)。

H0 is true H0 is false
Reject Ho 0.05 0.31
Accept H0 0.95 0.69

介紹到此，讀者應該發現本書與其他統計教材的不同之處。我們先認識什麼是p值，接著才討論什麼是型一(\(\alpha\))與型二(\(\beta\))錯誤率，而且特意淡化檢定水準的說明。這是為了讓讀者，特別是實務經驗還不豐富的新手務必了解，p值與型一錯誤率是兩回事。即使以上例子的型一錯誤率剛好等於.05，與常見的檢定水準相同，但是檢定水準是由研究者自己設定，型一錯誤率是根據檢定水準判斷實際得到的p值，否定虛無假設卻不正確的最大機率。示範檔案的模擬程序就能看出計算p值與估計犯錯機率的機制，是完全不同的。

相對於型一錯誤率，型二錯誤率指根據檢定水準判斷實際得到的p值，否定對立假設卻不正確的最大機率。能經得起長期考驗的研究結果，型一與型二錯誤率應該越小越好。設定檢定水準體現研究者對型一錯誤率的期許，型二錯誤率與研究者肯定對立假設的正確率互為補集，在統計學裡後者被稱為考驗力(Power)，也就是表??的0.31。除了透過儘可能最小的檢定水準得到顯著結果，經得起考驗的研究結果也要有儘可能最大的考驗力。我們在第6單元，將進一步認識什麼是考驗力，以及如何確保研究結果有起碼的考驗力。

5.2.3 母數與無母數檢定

單元4.5提過有母數與無母數的機率分佈的區別，是函數的參數有沒有平均值與標準差/變異數。平均值在機率論又名期望值(Expected value)，因為展現隨機試驗所有結果的函數，代表每種結果的隨機變數(x)，與各自發生機率(p)的乘積總和，也就是平均值。機率論裡簡記為\(E(x)\)，其中的x正是隨機變數。例如Roland Fisher版本的奶茶試驗，受測者純粹靠猜測的期望值是\(0\times\frac{1}{70} + 1\times\frac{16}{70}+2\times\frac{36}{70} + 3\times\frac{16}{70}+4\times\frac{1}{70} = 2\)。也就是受測者靠著純粹猜測，最可能得到的試驗結果。

在第2單元學習統計量數時，己知平均值是集中量數，與之相關的變異量數是變異數與標準差。既然標準差是變異數的開根號，我們只要了解變異數是每個隨機變數與期望值之差異平方的期望值，如以下公式：

\[Var(x) = E[(x - E(x))^2]\]

這個公式可以展開為兩種期望值：第一種是隨機變數平方的期望值\(E(x^2)\)，第二種是隨機變數期望值的平方\(E(x)^2\)，所以這個公式可以寫成：

\[Var(x) = E(x^2) - E(x)^2\]

我們在單元4.3知道所有統計方法的操作都是根據樣本的機率函數，或者說抽樣分佈。由於平均值與變異數都是母群體機率函數的參數，樣本的機率函數的參數也有這兩者。因此實際資料的平均值與變異數可以視為抽樣分佈的參數估計值，而且有的統計方法就算不清楚母群體的參數是多少，也能使用樣本的平均值與變異數替代。

除了上述的參數估計，母數統計與無母數統計還有一些不同之處，在之後的單元再做介紹。如果兩種方法都可以分析手上的資料，何者較好並沒有絕對的標準。以下用Emily Rosa的專題研究資料，示範無母數統計–二項檢定與母數統計–單一平均數z檢定的分析程序。

5.3 單一比率二項檢定

Emily Rosa在論文中提到，當年先從學校作業發想，找了15位自願參與的治療師進行第一次實驗。之後有記者注意，為了進行採訪，找了包括曾參與第一次實驗部分人士與其他治療師等13位自願者，進行了第二次實驗(Rosa, Rosa, Sarner, & Barrett, 1998)。因此，本單元以第一次實驗結果示範單一比率二項檢定。

二項檢定只要資料是0到1之內的比率值，配合資料的樣本數就能進行顯著性檢定，判斷資料能不能否定虛無假設。所以Roland Fisher的奶茶測試，可以用這種方法分析。設計與假設和奶茶測試如出一轍的TT測試，當然可以分析結果。

Emily Rosa假設如果治療師真的有本事，答對率應該明顯高於50%，或者十次試驗有超過五次答對。符合假設的母群體機率函數的隨機變數只有兩個數值：1(正確)與0(錯誤)。兩個數值代表的事件機率分別為0.5，因此母群體機率函數的圖示如同圖5.1。

單一比率二項檢定之母群體機率函數

圖 5.1: 單一比率二項檢定之母群體機率函數

Emily Rosa第一次實驗收集了15人共150次回答正確或錯誤的紀錄，使用這個原則進行一萬次模擬，就能得到圖5.2的樣本機率函數。

單一比率二項檢定之樣本機率函數

圖 5.2: 單一比率二項檢定之樣本機率函數

5.3.1 中央極限定理(#one-sample-central)

這個例子體現母群體的機率函數，不必然等於樣本機率函數。只要產生樣本的隨機方法符合母群體機率函數，樣本機率函數就會接近常態分佈。這種現象在機率論稱為中央極限定理，最早由十八世紀的法國數學家亞伯拉罕·棣美弗與十九世紀的皮耶-西蒙·拉普拉斯證明。中央極限定理是今日我們能運用樣本極率函數，或者抽樣分佈，以手中資料進行推論統計的基礎。

我們不必深入了解如何推導中央極限定理，必須知道的是如何判斷模擬的抽樣分佈確實是常態分佈。最直接的方法是判讀分位圖(Q-Q plot)：圖5.3是構成圖5.2的隨機數值，所繪製的分位圖。分位圖的橫軸(Theoretical Quantilies)是隨機數值的標準化分數，也就是z值；縱軸(Sample Quantiles)是隨機數值裡，對應每個z值的累積百分比的分位數。分位圖包括兩種數值的散佈圖，以及通過兩類數值皆為0的迴歸直線。符合中央極限定理的抽樣分佈，繪製出的散佈圖資料點，必定完全貼合迴歸直線。統計語言R有內建分位圖繪圖函式。讀者可自行檢視jamovi模擬程序示範檔案，Rj套件操作視窗裡的qqplot與qqnorm函式。

單一比率二項檢定之樣本機率函數分位圖

圖 5.3: 單一比率二項檢定之樣本機率函數分位圖

由此例開始，本書介紹的推論統計方法，只要所根據的抽樣分佈符合常態分佈，都會使用分位圖檢驗抽樣分佈。我們在第6單元，進一步會學到即使完全不知母群體機率函數的模樣，但是只要肯定存在母數(期望值)，樣本機率函數是接近當下樣本平均值與變異數的常態分佈。

5.3.2 檢定程序示範

此處以JASP示範如何使用二項檢定分析Emily Rosa的第一次實驗資料。JASP的Data Library有收錄這筆資料，讀者除了可自行開啟，也可下載本書的JASP示範檔案，觀摩如何使用Frequencies -> Binomial Test模組設定操作。

因為Emily Rosa假設有本事的治療師，正確率應該明顯高於50%，因此設定虛無假設：proportion = 0.5，對立假設：proportion > 0.5。所以設定視窗裡的Test value是0.5，Hypothesis勾選> Test value。

JASP示範檔案之中的顯著性檢定結果回報兩個p值，各自代表正確與錯誤的回答比率都不能否定虛無假設。這些p值是抽樣分佈的累積次數相對比例，由於這次分析想確定治療師的正確率有沒有高於0.5，所以兩個p值都是由圖5.2的抽樣分佈Proportion最大值，累積到對應資料Proportion之相對面積。如圖5.4是正確次數的二項檢定p值；而圖5.5是錯誤次數的二項檢定p值。讀者可在jamovi模擬程序示範檔案，探索以相同規模重做一次Emily Rosa的實驗，所有治療師要做對多少次，二項檢定才能肯定他們真有本事？

單一比率二項檢定之正確次數p值視覺化

圖 5.4: 單一比率二項檢定之正確次數p值視覺化

單一比率二項檢定之錯誤次數p值視覺化

圖 5.5: 單一比率二項檢定之錯誤次數p值視覺化

5.4 單一平均值z檢定

除了所有治療師的答對率，Emily Rosa也可以用每位治療師的平均正確次數做分析。她與父母等人發表的論文是使用個人的正確次數，分析治療師們到底有沒有真本事。z檢定示範也是採用個人正確次數，但是原始論文並不是用z檢定分析結果。

在單元5.2.1Roland Fisher的奶茶試驗解說中，我們得知Emily Rosa的實驗參考Fisher的設計，因此治療師們如果是靠運氣面對Emily的測試，每個人能做出正確次數的機率，符合試驗次數n=10，一次試驗正確率p=0.5的二項機率分佈。這個分佈可視為符合條件的母群體，其平均值是5，變異數是2.5，如圖5.6。

單一平均值z檢定之母群體機率函數

圖 5.6: 單一平均值z檢定之母群體機率函數

以上述設定的二項機率分佈製造一萬次實驗結果，每次結果有十五筆正確次數，每次實驗結果的平均值就會累積成如圖5.7的抽樣分佈，也就是虛無假設的機率分佈。讀者會發現抽樣分佈的變異數，正好等於母群體變異數的\(frac{1}{15}\)倍。這個案例體現使用z檢定的前提：是我們確定母群體變異數，且肯定抽樣分佈符合常態分佈的狀況。

單一平均值z檢定樣本機率函數

圖 5.7: 單一平均值z檢定樣本機率函數

5.4.1 檢定程序示範

JASP與jamovi都尚未提供完整的z檢定模組，本書提供的jamovi示範檔案整合描述統計與Rj模組，讓讀者可在任何適用單一平均值z檢定的資料，可用此程序進行分析。示範檔案的R程式碼編輯視窗前五行(如下)，是使用者依要分析的資料輸入設定。首兩行之後的數字來自描述統計統計結果的輸出；接著第三行與第四行是母群體的平均值與標準差，要填入數字或計算式，是根據使用者對於要測試的假設之認識；第五行是對立假設的設定，是不等於某平均值，還是大於或小於某平均值；最後第六行的alpha是p值否定虛無假設的檢定水準。

N <- 15                        ## 描述統計樣本數
Y_bar <- 4.667                 ## 描述統計平均值
mu <- 10*0.5                   ## 母群體平均值 = 嘗試次數 x 嘗試成功率 
sd <- sqrt(10*0.5*(1-0.5))     ## 母群體標準差 
h_option <- 2                  ## 1: not equal to mu; 2: larger than mu; 3: smaller than mu
alpha <- 0.05                   ## 設定p值檢定水準

以上設定的前四行是z統計數公式的要件，這個公式的數學表示與R程式碼表示表列如下：

數學 R
\(z = \frac{\bar{Y} - \mu_{\bar{Y}}}{\frac{\sigma}{\sqrt{N}}}\) z_test <- (Y_bar - mu)/(sd/sqrt(N))

示範檔案輸出Emily Rosa的第一次實驗結果z分數是-0.82，p值是0.79。和單一比率二項檢定相同，單一平均值z檢定也無法否定虛無假設。

將圖5.7的數值繪製分位圖，如圖5.8，顯示此抽樣分佈確實符合常態分佈，符合使用z檢定的前提。這個案例的目標是確認得到的資料，有沒有顯示治療師答對次數的確實明顯高於5次，所以p值由最大值累積到資料平均值，如圖5.9的紅色區域。

單一平均值z檢定抽樣分佈分位圖

圖 5.8: 單一平均值z檢定抽樣分佈分位圖

單一平均值z檢定p值視覺化

圖 5.9: 單一平均值z檢定p值視覺化

5.4.2 信賴區間

抽樣分佈的每一個模擬數值，代表Emily的實驗重做上萬次，所有的可能結果。累積而成的機率函數，讓母數統計的使用者除了運用假設檢定，分析當前實驗結果，還可以計算信賴區間(confidence interval)，檢視現在的資料有多大的機率，包含符合假設的期望值。單一平均值z檢定的信賴區間數學表示與R程式碼表列如下：

數學 R
z_cv <- qnorm(alpha/2,lower.tail = FALSE)
\(\bar{y} \pm z_{\frac{\alpha}{2}}\times\frac{\sigma}{\sqrt{N}}\) lci <- Y_bar - z_cv* sd/sqrt(N)
uci <- Y_bar + z_cv* sd/sqrt(N)

根據Emily的實驗結果，可知95%CI [3.87, 5.47]，也就是說平均值5是在這次實驗結果估計的信賴區間之內。但是信賴區間與假設檢定一樣，都是長期累積的可能結果。\(\alpha\)在假設檢定代表最大的錯誤肯定機率；在信賴區間代表所有可能樣本的區間範圍，有多高比例包括假設的期望值。這個比例是\(1 - \alpha\)，因此信賴區間的正式寫法記為%CI。示範檔案的Rj報表最後一行，是總計1萬筆模擬數值的信賴區間，有包括5的總數目。這個數字會隨重新執行不斷變動，但是數字會在9400到9600左右，也就是大約有95%的模擬數值信賴區間，包含代表治療師們只是靠運氣做實驗的平均正確次數。

我們從以上示範發現，相較於假設檢定的p值帶來否定假設的訊息，信賴區間給予使用者肯定假設的概念，有學者鼓吹心理學研究者應該使用信賴區間，而非p值呈現結果(Cumming & Finch, 2005)。本書不特別評論那種方法較佳，讀者應再思考一個問題：兩種方法都是建立在本質是條件機率\(P(\frac{D}{\theta})\)的抽樣分佈，加上多數情況是根據期望能否定的虛無假設。如果我們想探討真實的\(\theta\)是否與假設相符，累積大量資料之後，假設檢定與信賴區間能給我們多少有意義的資訊？

5.5 習題

  • jamovi模擬程序 Emily Rosa第一個實驗

  • 型一與型二錯誤率

References

Lindsay, S., Simons, D., & Lilienfeld, S. (2016). Research Preregistration 101. Observer, 29(10), 14–16.

Fisher, R. A. (1966). The Design of Experiments (8th edition). New York: Hafner Publishing Company.

Rosa, L., Rosa, E., Sarner, L., & Barrett, S. (1998). A Close Look at Therapeutic Touch. JAMA, 279(13), 1005. doi:10.1001/jama.279.13.1005

Cumming, G., & Finch, S. (2005). Inference by Eye: Confidence Intervals and How to Read Pictures of Data. American Psychologist, 60(2), 170–180. doi:10.1037/0003-066X.60.2.170