W15：線性迴歸——從相關到預測

心理教育統計 2026

授課教師：陳紹慶 | e-mail:

2026/06/08

總結提示

  • 個人累進學習成果報告，已載入累進成績結算及還可達成的目標。
  • 本日(W15)上課前可努力的部分: W14, W15 LAB, W17 Final LAB
  • W16 總複習無網路直播，上課內容有模擬試題即時演練及討論。

本週學習目標

理解概念：

  1. 理解迴歸方程式 \(Y = a + bX\) 的意義
  2. 掌握迴歸係數 (\(b\)) 與截距 (\(a\)) 的解讀
  3. 學會殘差的三項適用條件診斷（線性、常態性、變異同質性）
  4. 理解迴歸係數的推論統計與標準化係數 \(\beta\)

軟體操作：

  1. jamovi 執行 Linear Regression
  2. 儲存預測值與殘差（Predicted values、Residuals）
  3. 進行三項適用條件診斷（線性、常態性、變異同質性）
  4. 讀取係數推論（t / p / 95% CI）與標準化係數 \(\beta\)

對應教材

簡報示範資料：

  • parenthood（同 W14）：Dan爸的睡眠時數 vs 暴躁程度

操作示範資料： - “Study2_copy.xls”, 前置處理操作錄影

作業資料：個人化 W15_Regression_[學號].csv

Part 1：從相關到預測🧠

相關係數的統計資訊

相關係數 \(r\)：

  • 描述兩個變項之間線性關係的強度與方向
  • \(r = -0.903\)（parenthood 資料）

但相關無法回答：

  • 如果 Dan爸 多睡一小時，暴躁指數會降低多少？
  • 如果知道睡眠時數，能不能預測暴躁指數？

相關 → 描述關聯；迴歸 → 做出預測

散佈圖 + 迴歸線

這條紅線就是迴歸線——最能代表資料趨勢的直線

最小平方法

目標：找出讓所有依變項(Y)資料到這條線的垂直距離（殘差）的平方和最小的一條直線。

\[\text{Residual} = (Y_i - \hat{Y}_i)\]

\[\text{SSE} = \sum_{i=1}^{N} (Y_i - \hat{Y}_i)^2 \rightarrow \text{最小化}\]

符合最小平方法的迴歸線

紅色虛線 = 殘差（越短越好）

Part 2：迴歸方程式🧠

\(Y = a + bX\)

\[\hat{Y} = a + b \times X\]

符號 名稱 意義
\(\hat{Y}\) 預測值 根據 X 預測出的 Y 值
\(a\) 截距 (intercept) 當 \(X = 0\) 時，\(\hat{Y}\) 的值
\(b\) 迴歸係數 (regression coefficient) \(X\) 每增加 1 單位，\(\hat{Y}\) 的變化量（即迴歸線斜率）

parenthood 的迴歸結果

\[\text{dan.grump} = 125.96 + (-8.94) \times \text{dan.sleep}\]

截距 \(a = 125.96\)：

  • 如果 Dan爸 完全不睡覺（dan.sleep = 0），預測暴躁指數為 125.96
  • ⚠ 外推解讀需謹慎（僅限測量範圍內可預測）

迴歸係數 \(b = -8.94\)：

  • 每多睡一小時，暴躁指數預測下降 8.94 點
  • 負號 = 負向關係（睡越多 → 越不暴躁）

迴歸係數的意義

X 增加 1 → Y 變化 b → 這就是「預測」

Part 3：\(R^2\) 與模型好壞🧠👨‍💻

迴歸模型能解釋多少變異？

\[R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{residual}}}{SS_{\text{total}}}\]

成分 公式 意義
\(SS_{\text{total}}\) \(\sum(Y_i - \bar{Y})^2\) 資料的總變異
\(SS_{\text{residual}}\) \(\sum(Y_i - \hat{Y}_i)^2\) 模型無法解釋的變異
\(SS_{\text{model}}\) \(SS_{\text{total}} - SS_{\text{residual}}\) 模型能解釋的變異

parenthood 的 \(R^2\)

\[R^2 = 0.8161\]

解讀：睡眠時數可以解釋暴躁指數 81.6% 的變異

\(R^2\) 的直覺

紅線（殘差）越短 → \(R^2\) 越大 → 模型越適配(fit)

jamovi 操作：Zhang et al. (2024) Study 2

Study 2 有三種教學分組（condition 0/1/2），各組都有前測（Pre_sum）與後測（Post_sum）。

問題：哪一組的前測最能預測後測？

jamovi 操作：線性迴歸

步驟：

  1. Regression → Linear Regression
  2. 依變項（DV）放入 Dependent Variable
  3. 自變項（IV）放入 Covariates
  4. 調整 Model Fit（確認勾選 R²）
  5. 調整 Model Coefficients（確認勾選 CI）
  • 迴歸係數 b 的方向（正/負）與顯著指標(p)
  • R² 的大小（解釋多少變異）

Part 4：殘差診斷🧠👨‍💻

殘差 = 觀察值 - 預測值

\[e_i = Y_i - \hat{Y}_i\]

迴歸分析的適用條件：迴歸模型應該符合四種適用條件

  • 如果殘差診斷確定不符合適用條件，統計推論（p 值、信賴區間）可能不可靠
  • 還有兩種殘差：標準化殘差、學生化殘差，參考電子書12.10
  • 以下說明及示範唯一線性關係、常態性、變異同質性的適用條件診斷

判斷唯一線性關係

  • 如何確認已經納入迴歸的自變項(e.g., dan.sleep, baby.sleep)，能夠充分預測應變項(e.g., dan.grumpiness)？
  • 視覺化預測值(\(\hat{Y}_i\)) vs. 觀察值(\(Y_i\))的線性關係是否貼合對角線
  • 視覺化殘差(\(e_i\)) vs. 預測值(\(\hat{Y}_i\))的線性關係是否貼合水平線

唯一線性關係診斷示範：Zhang et al. (2024) Study 2

  • 使用清理後的”Study2_copy.xls”，了解所有參與者的”前測”能夠充分”後測”？

  • 使用模組 Regression - Linear Regression

  • 選單設定 Dependent Variable = Post_sum; Covariates = Pre_sum; “Save” 勾選Predicted values, Residuals

  • 開啟Plots tab, 使用模組 Scatter Plot 兩次：(1) X-Axis = Post_sum, Y-Axis = Predicted values; (2) X-Axis = Predicted values, Y-Axis = Residuals

  • 根據報表輸出的繪圖，Post_sum ~ Pre_sum是唯一有預測能力的迴歸線嗎?

殘差的常態性：視覺化診斷1

  • 樣本分位數~理論分位數沿對角線排列 → 殘差近似常態 ✓

殘差的常態性：視覺化診斷2

  • 殘差 ~ 觀察值散佈圖呈現無相關性 → 殘差近似常態 ✓

殘差的常態性診斷示範: Zhang et al. (2024) Study 2

  • 使用模組 Regression - Linear Regression

  • 選單設定 Dependent Variable = Post_sum; Covariates = Pre_sum; “Assumption Checks” 勾選Normality test, Q-Q plot ofresiduals, Residual plots

  • 運用報表的表格及散佈圖，判斷分析資料的殘差是否符合常態假設？

殘差的變異同質性: 視覺化診斷

  • 對應各預測值的殘差變異數(離散程度)，必須要相等。

  • 以殘差絕對值的平方根 vs. 預測值散佈圖，判斷是否接近水平線

殘差的變異同質性診斷示範: Zhang et al. (2024) Study 2

  • 設定計算變項 SQR_Residuals 填入算式 SQRT(ABS(Residuals))

  • 開啟Plots tab, 使用模組 Scatter Plot： X-Axis = SQR_Residuals, Y-Axis = Predicted values

  • 根據報表輸出的繪圖，Post_sum ~ Pre_sum 這條迴歸線有符合變異同質性嗎?

Part 5：迴歸係數的推論統計🧠👨‍💻

原始迴歸係數的推論統計

問題：樣本資料算出的迴歸係數 \(b = -8.94\)，是否為理論參數的有效估計？理論的迴歸係數會不會其實是 0（睡眠時間對暴躁程度毫無預測力）？

假設（理論參數迴歸係數 \(b\)）：

\[H_0:\ b = 0 \qquad H_1:\ b \neq 0\]

檢定統計量：估計值除以標準誤，逼近 \(t\) 分佈

\[t = \frac{\hat{b}}{SE(\hat{b})}, \qquad df = N - 2\]

簡單迴歸只有1個預測變項及1個應變項，自由度為 \(N-2\)。

對照 jamovi 報表：Model Coefficients

欄位 符號 意義
Estimate \(\hat{b}\) 迴歸係數估計值（原始尺度）
SE \(SE(\hat{b})\) 係數的標準誤（抽樣波動）
t \(t\) \(\hat{b} / SE(\hat{b})\)
p — 雙尾檢定的 \(p\) 值
Lower / Upper 95% CI — 母體係數的 95% 信賴區間

parenthood 的 dan.sleep 係數：

\[t = \frac{-8.94}{0.43} = -20.85,\quad df = 98,\quad p < .001\]

  • \(p < .05\) → 拒絕 \(H_0\)：睡眠時數確實能預測暴躁指數
  • 95% CI \(= [-9.79,\ -8.09]\)，不包含 0 → 與 \(p\) 值結論一致
  • ⚠ 統計顯著 ≠ 有意義；必須看係數大小與研究脈絡

標準化迴歸係數的推論統計

問題：原始係數 \(b\) 受測量單位影響。「每多睡 1 小時降 8.94 點」——若 X 改用「分鐘」，數字就完全不同，不利於跨研究比較。

解決方法：把原始資料轉成 \(z\) 分數再做迴歸，得到標準化係數 \(\beta\)

\[\beta = b \times \frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\]

  • \(\beta\) 的單位是「標準差」：\(X\) 每增加 1 個標準差，\(\hat{Y}\) 改變 \(\beta\) 個標準差
  • 不受原始尺度影響，數值落在 \(-1 \sim 1\) 之間，較易直觀解讀

標準化係數的解讀與報表

\[\beta = r \quad(\text{標準化係數} = \text{Pearson } r)\]

parenthood 實例：

\[\beta = -8.94 \times \frac{1.02}{10.05} = -0.903 \;=\; r\,(-0.903)\]

jamovi 操作：Model Coefficients → 勾選 Standardized estimate（可一併勾 Confidence interval），報表多出 \(\beta\) 欄與其 95% CI。

  • \(\beta = -0.903\)：睡眠長度每增加 1 個標準差，暴躁指數降低約 0.9 個標準差
  • 與 Part 1 算出的 \(r = -0.903\) 完全相同 → 驗證「簡單迴歸 \(\beta = r\)」
  • 測量變項尺度相同時，原始係數 \(b\) 較好解讀；\(\beta\) 在需要跨研究比較時最有用

jamovi 操作：Zhang et al. (2024) Study 2

問題：各組參與者前測成績（Pre_sum）能有效預測學習成效(Post_sum)？

步驟：

  1. 使用Filter切換三種教學方法
  2. Regression → Linear Regression → Dependent Variable置入 Post_sum 、 Covariates置入 Pre_sum ; “Model Coefficients”- Estimate 勾選 Confidence interval、Standardized Estimate 勾選 Standardized estimate, Confidence interval
  3. 閱讀報表的 “Model Fit Measures”, “Model Coefficients”
  4. 那一組的前測成績能有效預測學習成效？適用條件診斷的結果如何影響解讀？

Part 6：本週作業

作業說明

資料：個人化 W15_Regression_[學號].csv

你的資料包含：

變項 類型 說明
Study_Hours Continuous 每週讀書時數
Total_Score Continuous 總測驗分數

⚠ 建議流程：先做適用條件診斷 → 再判斷如何解讀係數。不符合適用條件，解讀迴歸係數與預測效力都要保持謹慎。

任務 1：建立模型並儲存診斷材料

操作：

  1. Regression → Linear Regression
  2. DV（依變項）：Total_Score；Covariates（自變項）：Study_Hours
  3. Save 勾選 Predicted values 與 Residuals（資料表新增兩欄）
  4. 設定計算變項 SQR_Residuals，算式 SQRT(ABS(Residuals))（供變異同質性診斷用）

先把係數放一邊 —— 先檢查模型能不能用。

任務 2：適用條件診斷（三項，先於係數解讀）

(1) 線性關係：Scatter Plot — X = Predicted values，Y = Residuals

  • 點是否隨機散佈、貼近水平線（無系統性彎曲）？

(2) 常態性：Assumption Checks 勾 Normality test、Q-Q plot of residuals、Residual plots

  • Q-Q 點是否沿對角線？Shapiro-Wilk 的 p 值是否 > .05？

(3) 變異同質性：Scatter Plot — X = Predicted values，Y = SQR_Residuals

  • 離散程度是否大致均勻、貼近水平線？

在報告中逐項判斷三個適用條件是否成立。

任務 3：迴歸係數與推論統計

操作：Model Fit 勾 R²；Model Coefficients 勾 Confidence interval、Standardized estimate

  1. 記錄：截距 \(a\)、迴歸係數 \(b\)、\(R^2\)
  2. 係數推論：\(t\)、\(p\)、95% CI（CI 是否包含 0？）
  3. 標準化迴歸係數 \(\beta\)，並驗證簡單迴歸 \(\beta = r\)
  4. 寫出預測方程式：\(\text{Total Score} = a + b \times \text{Study Hours}\)

任務 4：APA 寫作

格式範例：簡單線性迴歸顯示，讀書時數能（顯著／不顯著）預測總分，b = ⋯, t(df) = ⋯, p = ⋯, R² = ⋯, β = ⋯。

依你的數據完成一段 APA 報告。

反思問題：

  1. Q1：迴歸係數 b 的正負代表什麼？你的資料中 Study_Hours 與 Total_Score 的關係方向如何？
  2. Q2：\(R^2\) 代表什麼意義？你的模型解釋了多少比例的變異？
  3. Q3：為什麼要先完成適用條件診斷，才能解讀迴歸係數？若其中一項適用條件不成立，會如何影響你對 \(b\)、\(p\)、CI 等統計資訊的解讀？

繳交要求

檔案 1：學號_姓名_W15_Lab.omv

  • 線性迴歸分析（含 R²、95% CI、標準化估計）
  • 已儲存 Predicted values、Residuals，並建立 SQR_Residuals
  • 三項診斷圖：殘差 vs 預測值、Q-Q plot、SQR_Residuals vs 預測值

檔案 2：學號_姓名_W15_Report.docx

  • 三項適用條件診斷結果與判斷
  • 迴歸方程式、係數推論（t / p / CI）、標準化迴歸係數 β 解讀
  • APA 報告
  • 3 題反思問題

繳交期限：本日下課後，當天午夜12:00之前

小結與展望

本週核心概念

  1. 迴歸方程式：\(Y = a + bX\)，迴歸係數 \(b\) = 預測變化量、截距 \(a\) = \(X=0\) 的預測值
  2. 最小平方法：讓殘差平方和最小的迴歸線
  3. \(R^2\)：模型能解釋的變異比例
  4. 適用條件診斷：線性、常態性、變異同質性三項——先診斷，再解讀係數
  5. 係數推論：以 \(t\) / \(p\) / 95% CI 判斷迴歸係數是否顯著（CI 不含 0 → 顯著）
  6. 標準化迴歸係數 \(\beta\)：不受測量單位影響、可跨研究比較；簡單迴歸 \(\beta = r\)

課後資源

電子書：

關鍵術語對照：

中文 英文 符號
線性迴歸 Linear Regression —
截距 Intercept \(a\)
迴歸係數 Regression coefficient \(b\)
殘差 Residual \(e_i\)
決定係數 R-squared \(R^2\)
標準化迴歸係數 Standardized coefficient \(\beta\)

下週W16預告

  • 學期總複習
  • 復盤這學期所學的統計原理，整理jamovi操作指南
  • W15 LAB複評截止，統算平時LAB成績
  • W17 期末LAB預告
  • 無yt直播，於電腦教室進行複習演練及問題討論

Q & A