對應教材

• 《用 jamovi 上手統計學》
  • 第 11 章：比較兩個平均數

簡報示範資料：

• Harpo（獨立樣本 t）：兩位老師的教學成效
• Chico（相依樣本 t）：前後測的學生進步

操作示範資料：

• Zhang et al.(2024) Study 2資料全本(從google classroom下載”study2.csv”)

作業資料：個人化 W12_ttest_Data_[學號].csv

理解概念：

1. 區分獨立樣本與相依樣本的實驗設計
2. 理解 Levene’s test 的診斷功能
3. 知道何時使用 Welch’s t 修正
4. 掌握相依樣本 t = 差值的單一樣本 t

獨立 vs 相依

判斷方法~資料來源

提問：每一筆資料之間，有沒有「配對關係」？

有配對 → 相依，沒配對 → 獨立

判斷方法~資料格式

預覽jpower

• Modules -> Available -> 輸入”jpower” -> INSTALL

• 單一樣本t檢定操作示範

Harpo 資料集

情境：比較兩位老師的教學成效

問題：Anastasia 的班平均高了約 5.5 分，這是真正的差異還是運氣？

兩組的分佈

獨立樣本 t 的公式

\[t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{SE_{\text{pooled}}}\]

分母的聯合標準誤：

\[SE_{\text{pooled}} = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}\]

\[s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}\]

自由度：\(df = n_1 + n_2 - 2 = 31\)

Harpo 的 t 檢定結果

\[t(31) = 2.12,\quad p = 0.043, CI_{95} = [0.2, 10.8],\quad d = 0.74\]

• \(p = 0.043 < .05\) → 拒絕 H₀：兩組有顯著差異

效果量計算方法

獨立樣本 t 的 Cohen’s d：

\[d = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p}\]

• 分母 \(s_p\)：聯合標準差（合併兩組的 SD）

• 解讀：兩組平均差距佔 \(s_p\) 的倍數

• Harpo 資料：\(d = 0.74\)（中效果）

Cohen 效果量基準：小 ≥ 0.2、中 ≥ 0.5、大 ≥ 0.8

適用條件：變異數同質性

Student’s t 假設兩組的取樣分佈變異數相等：

\[\hat{\sigma_1^2} = \hat{\sigma_2^2}\]

如果不相等呢？

• 聯合標準誤 \(s_p\) 的估計會有偏差

Levene’s Test：檢驗兩組變異數是否相等

• \(p \geq .05\) → 同質 → 使用 Student’s t ✓
• \(p < .05\) → 不同質 → 改用 Welch’s t ⚠

• 功能如同之前學過的Shapiro-Wilk Test

什麼是 Welch’s t？

Student’s t 假設兩組 SD 一樣 → 合併計算

Welch’s t 不做這個假設 → 分開計算

\[t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\]

Student’s t vs. Welch’s t：

• 自由度不是整數（使用Welch-Satterthwaite 法逼近）
• 更保守但更正確
• 許多統計學家建議，獨立組分析一律使用 Welch’s t

使用流程

執行 Independent Samples T-Test
         │
    勾選 Levene's Test
         │
    ┌────┴────┐
    │         │
 p ≥ .05   p < .05
    │         │
Student's t  Welch's t
 (同質)      (不同質)
    │         │
    └────┬────┘
         │
   報告 t, df, p, d

養成習慣：先看 Levene’s檢定，再判讀 t 檢定結果

Harpo 的 Levene’s Test

Harpo 資料中：

• Anastasia 的 SD = 9
• Bernadette 的 SD = 5.77

Levene’s test: \(p = 0.155\)

• p ≥ .05 → 同質，使用 Student’s t

Independent Samples T-Test for Zhang 2024 study 2

步驟：

1. T-Tests → Independent Samples T-Test
2. 以Filter排除”Static Slides”
3. 將成績變項拖入 Dependent Variables
4. 將分組變項拖入 Grouping Variable
5. 勾選 Effect Size
6. 勾選 Assumptions → Homogeneity test, Normality test

Chico 資料集

情境：20 位學生接受補救教學，比較前後測成績

相依 t 和單一樣本t

相依樣本 t 檢定 = 差值 (D) 的單一樣本 t 檢定

\[D_i = X_{i,\text{後}} - X_{i,\text{前}}\]

\[t = \frac{\bar{D} - 0}{SE_D} = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{N}}\]

• \(H_0\)：\(\mu_D = 0\)（前後沒差）
• \(H_1\)：\(\mu_D \neq 0\)（前後有差）
• \(df = N - 1\)（不是 \(N - 2\)！只有一組數值）

差值分佈

幾乎所有人都有進步（差值 > 0），但幅度不大

Chico 的相依 t 結果

\[t(19) = 6.48,\quad p < .001,\quad d = 1.45\]

• \(p < .001\) → 拒絕 \(H_0\)：補救教學後成績顯著提升

效果量計算方法

相依樣本 t 的 Cohen’s \(d_z\)：

\[d_z = \frac{\bar{D}}{s_D}\]

• 分母 \(s_D\)：差值的標準差（不是個別組的 SD）

• 解讀：平均進步幅度佔差值 SD 的倍數

• Chico 資料：\(d_z = 1.45\)（大效果）

⚠ \(d_z\) 與獨立樣本 \(d\) 分母不同，不可直接比較

前後測的視覺化

大部分點都在對角線上方 → 後測 > 前測 → 有進步

Paired Samples T-Test for Zhang 2024 study 2

步驟：

1. T-Tests → Paired Samples T-Test
2. 以Filter保留”Hands + Drawing”
3. 將前測和後測變項依次拖入 Paired Variables
4. 勾選 Effect Size
5. 勾選 Assumptions → Normality test

注意：

• 如果資料中有分組，需先用 Filter 篩選目標組別
• 例如：只分析實驗組的前後測

顯著 ≠ 重要

p 值會隨 N 變化，效果量 d 不會

• 效果量衡量差距的實質大小，不受 N 影響

• 實質大小: 以原始測量尺度計量(Y)或標準化(z,d)的數值

• APA 格式必須同時報告 p 和 d

統計檢定力（Power）

Power = \(1 − \beta\)：正確偵測到真實效果的機率

• 目標：Power ≥ .80（慣例）

• Power 不足 → 真實效果可能被遺漏

四個互相牽連的參數

確定其中 3 個，就能算出第 4 個

jpower：計算所需樣本數

問題：已知 d 和 \(\alpha\)，要達到 Power = .80，需要多少人？

1. 勾選 Power → 依實驗設計選擇t檢定類型 -> 展開 Power 分析面板
2. 選擇 N per group / N
3. 設定 Minimal Effect Size（例如：0.5）
4. 設定 \(\alpha\) = .05，Power = .80
5. (選擇性) 檢定方向(雙側 vs. 單側); 各組樣本數比例
6. 報表輸出建議N表格

以 Harpo 資料規劃樣本數

Harpo 獨立樣本 t 的效果量：\(d = 0.74\)

如果未來要重現這個效果（Power = .80），各組需要多少人？

在 jpower 輸入：

• Effect Size d = 0.74
• \(\alpha\) = .05，Power = .80
• 計算 N per group

• 試試看：如果 Power 提高到 .95，N 會怎麼變化？

以 Chico 資料規劃樣本數

Chico 相依樣本 t 的效果量：\(d_z = 1.45\)

如果未來要重現這個學習效果，需要多少人？

在 jpower 選 Paired Samples T-Test，輸入：

• Effect Size d = 1.45
• \(\alpha\) = .05，Power = .80
• 計算 N（配對數）

• 相依設計通常比獨立設計需要更少的人
• 因為差值的 SD（\(s_D\)）比組間 SD 更小

本週作業資料格式

資料：個人化 W12_ttest_Data_[學號].csv

你的資料包含：

N = 50（每組 25 人）

任務 1：獨立樣本 t（組間比較）

操作：比較「實驗組」與「控制組」在 Score_T1 是否有起點差異

1. 先執行 Levene’s Test → 記錄結果
2. 根據 Levene’s 結果選擇 Student’s t 或 Welch’s t
3. 勾選 Effect Size

診斷報告：

• 在報告中列出 Levene’s Test 結果
• 若不同質，說明為何改用 Welch’s t

任務 2：相依樣本 t（組內變化）

操作：針對「實驗組」，比較 Score_T1 與 Score_T2 是否有顯著進步

1. 使用 Filter 篩選出 Group == “Experimental”
2. 執行 Paired Samples T-Test
3. 勾選 Effect Size

任務 3：估計最小樣本數

1. 如果你要檢測比任務1算出的組間比較少一半的效果量，設定\(\alpha\) = .05，power = .9，分組人數相同，使用單側檢定，各組至少需要多少人？
2. 如果你要檢測比任務2算出的組內變化多一倍的量，設定\(\alpha\) = .01，power = .9，使用雙側檢定，至少需要多少人？

觀念辨析

1. Q1：請說明以下情境分別應使用獨立或相依樣本 t 檢定，並解釋原因：

1. 比較實驗組和控制組的考試成績
2. 比較同一群學生上課前和上課後的測驗分數
3. 比較數對夫妻對於家庭議題的態度量表評分

2. Q2：什麼是變異數同質性？為什麼確認比較分組平均數是違反變異數同質性，需要使用 Welch’s t檢定？

3. Q3：為什麼獨立 t 的 df = N-2，相依 t 的 df = N-1？

繳交要求

檔案 1：學號_姓名_W12_Lab.omv

• 含 Levene’s Test 結果
• 獨立樣本 t 檢定 + 相依樣本 t 檢定
• 勾選 Effect Size

檔案 2：學號_姓名_W12_Report.docx

• Levene’s 診斷報告
• 獨立 t 與相依 t 結果
• 2 段 APA 格式報告
• 3 題觀念辨析

繳交期限：本週上課結束前

本週核心概念

1. 辨識研究設計：有配對 → 相依(4)，沒配對 → 獨立(2)
2. 診斷先行：看 Levene’s test 結果
3. Welch’s 修正：變異數不相等的替代檢定
4. 相依 t = 差值的單一樣本 t：連結 W10 的知識
5. df：獨立 \(N_1 + N_2 - 2\)，相依 \(N - 1\)
6. 效果量：d 與 \(d_z\) 分母不同，各自衡量對應設計的效果
7. Power = 1 − \(\beta\)：要規劃樣本，先確認 d、\(\alpha\)、Power 三個參數

下週預告

• 如果依變項是類別（而非數字），怎麼比較？
• 什麼是觀測次數 vs 預期次數？
• 什麼是卡方檢定（\(\chi^2\)）？

課後資源

電子書：

• 第 11 章：比較兩個平均數

關鍵術語對照：

Q & A