數學工具：

1. 信賴區間公式：\(CI = \bar{X} \pm t_{(df, \alpha/2)} \times SE\)
2. 自由度：\(df = N - 1\)

軟體操作：

1. jamovi Descriptives 模組的 CI for Mean
2. jamovi T-tests 模組的One-sample T test

對應教材

• 《用 jamovi 上手統計學》
  • 第 8 章：運用樣本估計未知量數（8.4-8.6）

簡報示範：互動式網頁

作業資料：個人化 W09_CI_Samples_[學號].csv

回顧 W8：已經知道的事

W8 你學到了：

• 每次從母群取樣，得到的 \(\bar{X}\) 都不太一樣

• \(\bar{X}\) 的取樣分佈逼近以 \(\mu\) 為中心的常態分佈，\(\sigma\) = \(SE\)

• \(N\) 越大 → \(SE\) 越小 → \(\bar{X}\) 越接近 \(\mu\)

• 問題：既然 \(\bar{X}\) 每次都不一樣，我們怎麼知道真正的 \(\mu\) 是多少？

點估計：最佳猜測

點估計（Point Estimate）：用單一數值猜測母群參數

• \(\hat{\mu} = \bar{X}\)（樣本平均數是母群平均數的最佳估計值）
• \(\widehat{\sigma/\sqrt{N}} = \frac{s}{\sqrt{n}}\)（樣本標準誤是取樣分佈標準差的最佳估計值）🎯

點估計的問題

每個樣本平均數都是一次「最佳猜測」，但幾乎沒有一次剛好命中理論平均值！

統計報告的難題

• 我只能做一次取樣，計算一個樣本平均數，如何保證這一次是最接近理論平均值的估計值？

魚槍 vs. 漁網

統計學的智慧：承認不確定性，用範圍取代精確值

信賴區間（CI）的直覺

95% 信賴區間的意思是：

如果我用同樣的方法反覆取樣 100 次，每次都計算一個區間…

→ 大約有 95 個區間會包含真正的 \(\mu\)

→ 大約有 5 個區間會落空

信賴區間的模擬

• 所有樣本平均值會堆疊為取樣分佈

什麼是 \(\sigma\) 未知

• 多數統計實務無法直接觀測母群，\(\sigma\)（母群標準差）是未知參數

• 中央極限定理保證：取樣分佈近似常態，\(SE = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\)——但 \(\sigma\) 本身未知

• t分佈僅有單一參數\(\nu\)，即自由度，稍後可知自由度與\(N\)的密切關係。

CI 的公式(\(\sigma\)未知)

\[CI = \bar{X} \pm t_{(df,\; \alpha/2)} \times SE\]

拆開來看：

• \(\bar{X}\)：樣本平均數（網子的中心）
• \(SE = \frac{s}{\sqrt{N}}\)：標準誤（網子的基本寬度）
• \(t_{(df,\; \alpha/2)}\)：t 臨界值（網子能夠撐開的倍數）
• \(df = N - 1\)：自由度（決定倍數大小）

CI 的寬度由什麼決定？

\[\text{CI 寬度} = 2 \times t_{(df,\; \alpha/2)} \times SE = 2 \times t_{(df,\; \alpha/2)} \times \frac{s}{\sqrt{N}}\]

兩個關鍵因素：

1. \(N\) 越大 → \(SE\) 越小 + \(t\) 越接近常態 → 網子越窄
2. 信心水準越高（95% vs 99%） → \(t\) 越大 → 網子越寬

CI 的範圍之內一定有\(\mu\)？

• 不一定，CI反映報告者有多少信心，認為此次結果的估計範圍包含\(\mu\)的可能性

• 中央極限定理只有保證，隨機樣本的N是估計精確度的根本。CI的臨界值是提示讀者，報告者的信心邊界。

• 精確度與信心的取捨：想要更有信心？就得接受更寬的網子。

為什麼要計算 \(s\)

• 許多研究實際上無法得知 \(\sigma\)

• 計算 CI 需要估計標準誤（SE）

• 代價：\(s\) 本身也有誤差 → 增加 CI 不確定性 → 擴張信心邊界

為什麼不是除以 \(N\)？

回想 W08 的 \(SE\) 公式：

\[SE = \frac{s}{\sqrt{N}} \quad \text{其中} \quad s = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{N - 1}}\]

問題：\(s\) 的分母為什麼是 \(N - 1\) 而不是 \(N\)？

• 除以 \(N-1\) 使 \(s^2\) 成為 \(\sigma^2\) 的不偏估計值（Bessel’s correction），否則會造成低估

聚餐 AA 制的譬喻

5 個人聚餐，限定預算 $1000 元（已知）

自由度 = 5 - 1 = 4

當你用 \(\bar{X}\) 來計算 \(s\) 時，\(\bar{X}\) 就像「已知的總帳單」：最後資料的離均差，已被先到資料決定。

t 分佈：小樣本的「懲罰」

功能：自由度是決定t分佈形狀的唯一參數

t 分佈的關鍵特性

• df 越小 → 尾巴越厚 → \(t\) 臨界值越大 → CI 越寬
• df 越大 → 越接近常態分佈 → \(t\) 越接近 1.96

\(N = 5\) 時，倍數比常態多了約 40% → CI 寬了 40%！

N 對 CI 寬度的影響（模擬）

互動探索：回到信賴區間模擬，調整樣本數 N，觀察 CI 寬度如何收窄；再切換 Z / T 兩種模式，看看小樣本時兩者差距有多明顯。

最常見的錯誤

❌「母群平均數有 95% 的機率落在這個區間內」

為什麼錯？

• \(\mu\) 是一個固定的數字（只是我們不知道） >- \(\mu\) 不會「跑來跑去」，所以不能說它「有幾 % 的機率在某處」 >- 「機率」描述的是方法，不是結果

正確的解讀

✓「我們有 95% 的信心，這個區間涵蓋了母群平均數」

更精確地說：

如果我們用相同的方法反覆取樣、反覆計算 CI

• 長期而言，95% 的區間會包含 \(\mu\)

• 眼前的區間估計範圍，要嘛包含、要嘛不包含；但我們相信這個方法會有效

釣魚的譬喻

• 95% CI ≠ 「魚有 95% 的機率被網子撈起來」
• 95% CI = 「這種撒網捕魚技術，長期命中率是 95%」

你無法確定這一次有沒有撈到

但是你信任這個技術——因為它的長期表現很好

用 jamovi 計算 CI

操作步驟：

Exploration → Descriptives

1. 將變項拖入分析 2. 勾選 Statistics → Confidence interval for Mean

T-Tests → One-Sample T-test

1. 將變項拖入分析 2. 設定 Test value（\(\mu_0 = 15\)） 3. 勾選 Plots → Descriptive plots

用 jamovi 計算 CI（續）

解讀輸出：

• Mean：點估計值 \(\bar{X}\)
• 95% CI Lower Bound：區間下界
• 95% CI Upper Bound：區間上界
• S.E. Mean：\(SE = s / \sqrt{N}\)
• Statistic：觀察 t 值（\(t_{obs} = \frac{\bar{X} - \mu_0}{SE}\)）

驗算：\(SE = \frac{\bar{X} - \mu_0}{t_{obs}}\) 應與 Descriptives 的 \(SE\) 相符；CI 半寬 \(= t_{critical} \times SE\)

本週作業：三種樣本的 CI 比較

資料：個人化 W09_CI_Samples_[學號].csv

你的資料包含 3 個變項：

三組都來自你的個人母群（與 W4-W8 相同）

任務 1a：計算三組的 95% CI

操作：

1. 匯入 CSV，設定三個變項為 Continuous
2. 使用 Exploration → Descriptives
3. 勾選 Statistics：Mean, SD, S.E. Mean, CI for Mean (95%)

記錄：整理三組的描述統計與 CI

任務 1b：t 檢定視覺化 + SE 驗算

操作（以 Sample_N30 為例）：

1. T-Tests → One-Sample T-test
2. 將 Sample_N30 拖入分析；設定 Test value = 15
3. 勾選 Plots → Descriptive plots

記錄並驗算：

- 計算各變項 \(SE = (\bar{X} - 15) \div t_{obs}\)
- 計算結果是否與描述統計模組計算的 SE 一致？

本週 One-Sample T-test 的目的是取得視覺化圖形與驗算工具；p 值意義下週討論。

任務 2：CI 寬度的視覺化比較

操作：在報告中說明

• 三組 CI 的寬度分別是多少？
• 為什麼 N=5 的 CI 最寬？請從 SE 和 t 臨界值兩個角度解釋

提示：

• \(SE = SD / \sqrt{N}\)，N 越大 → SE 越小
• \(t_{(df=4)} = 2.776\) vs \(t_{(df=29)} = 2.045\) vs \(t_{(df=99)} = 1.984\)

任務 3：觀念辨析

在報告中回答以下問題：

1. CI 解讀：如果你的某項分析之 95% CI 有包含15，你想寫「母群平均數有 95% 的機率是15」。這樣的結論正確嗎？請說明理由並修正。

2. 自由度：為什麼計算樣本標準差時要除以 \(N-1\) 而不是 \(N\)？請用自己的話解釋。

3. N 的代價：如果你是研究者，想將 CI 寬度縮小一半，你需要將樣本數增加多少倍？（提示：想想 \(SE = SD / \sqrt{N}\) 的數學關係）

繳交要求

檔案 1：學號_姓名_W09_Lab.omv

- 3 個變項的 Descriptives 分析（Mean, SD, S.E. Mean, CI for Mean） - 3 個變項的的 One-Sample T-test 分析（Test value = 15，含 Descriptive plot）

檔案 2：學號_姓名_W09_Report.docx

- 描述統計整理表（三組 CI 比較） - CI 寬度分析 - 反思問題：回答 3 題觀念問題

繳交期限：今日4/27 12:00pm前

本週核心概念

1. 點估計 vs 區間估計：用範圍取代精確值，承認不確定性
2. 95% CI：長期而言 95% 的區間包含 \(\mu\)（方法的可靠度）
3. 自由度：估計 \(\sigma\) 的代價，df = N - 1
4. t 分佈：df 越小 → 尾巴越厚 → CI 越寬
5. N 的槓桿：N 越大 → SE 越小 + t 越小 → CI 越窄

下週預告：假設檢定與單一樣本 t 檢定

下週問題：

• 「平均數跟常模不一樣」到底算不算有差異？
• 什麼是 \(p\) 值？怎麼用它做決策？
• 「統計顯著」等於「實務重要」嗎？

核心譬喻：法庭審判——無罪推定 (\(H_0\)) vs. 證據力 (\(p\))

資料：W10 模擬實驗資料（大小樣本的顯著性比較）

課後資源

電子書：

• 第 8 章：8.4-8.6 區間估計

互動模擬：

• Seeing Theory — 信賴區間

關鍵術語對照：

Q & A