W7：機率與樣本的常態性——從描述到推論

心理教育統計 2026

授課教師：陳紹慶 | e-mail:

2026/04/13

本週學習目標

學習成效指標

哲學意義：

  1. 「描述」與「推論」的本質差異
  2. 統計推論是「機率的微光」，沒有絕對的「確定」
  3. 常態分佈作為統計模型的核心地位

工具應用：

  1. 使用 Q-Q Plot 視覺判斷常態性
  2. 使用 Shapiro-Wilk 檢定量化常態性
  3. 使用 jamovi Compute 功能建立理論百分位

對應教材

簡報示範資料：IQsim,aflsmall_margins

作業資料：W04 個人化資料（回頭檢驗 Total_Score 與 RT_ms）

Part 1：「描述」與「推論」🧠

回顧：我們已經學到什麼？

描述統計：總結「已經收集到」的資料

  • 計算 Mean、SD、Median
  • 繪製 Histogram、Box Plot、Violin Plot
  • 識別離群值

本質：描述已知事實

「這 100 位學生的平均成績是 75.3 分」

用已知推測未知

推論統計：從「樣本」推測「母群」

  • 問題：如果隨機抽一位學生，他的成績超過 80 分的機率是多少？
  • 工具：機率分佈模型
  • 關鍵：資料是否符合某個已知的機率分佈（如常態分佈）？

本質：從已知推測未知

「根據這 100 位學生的資料，我們推測下一位學生成績超過 80 分的機率約為 30%」

統計推論的不確定性

「統計不能提供 100% 的確定性，只能提供機率意義的信號」

  • 我們無法說：「下一位學生一定會超過 80 分」
  • 我們只能說：「有 30% 的機率超過 80 分」

為什麼？

  • 樣本不等於母群
  • 隨機變異永遠存在
  • 我們只能用「模型」逼近現實

機率分佈：統計推論的基石

機率分佈是一種數學模型，描述「所有可能結果的機率」

兩大類機率分佈：

  1. 離散機率分佈：結果是可數的（如：擲骰子、考試答對題數）
  2. 連續機率分佈：結果是連續的（如：身高、體重、考試成績）

本週焦點：常態分佈（Normal Distribution）

Part 2：認識常態分佈🧠

為何常態分佈如此重要？

三大理由：

  1. 自然界的普遍模式：身高、體重、IQ 等許多自然現象都接近常態分佈
  2. 中央極限定理（W8重點）：即使母群不是常態，取樣平均數的分佈也會逼近常態
  3. 統計方法的基礎：許多推論統計方法的使用前提（如 t 檢定），都是假設資料符合常態分佈

常態分佈是統計推論的「通用語言」

常態分佈的數學形式

常態分佈由兩個參數決定：

  • \(\mu\)（mu，平均數）：決定鐘型曲線的中心位置
  • \(\sigma\)（sigma，標準差）：決定鐘型曲線的胖瘦程度

記法：\(X \sim N(\mu, \sigma)\)

例如：IQ ~ N(100, 15) 表示樣本的 IQ 分數，符合平均數 100、標準差 15 的常態分佈

常態分佈的視覺特徵

特性：

  • 對稱：左右兩側完全對稱
  • 單峰：只有一個高峰（在 \(\mu\) 處）
  • 68-95-99.7 法則：68% 資料落在 \(\mu \pm 1\sigma\)，95% 落在 \(\mu \pm 2\sigma\)，99.7% 落在 \(\mu \pm 3\sigma\)

jamovi 示範：探索 IQsim 資料

資料說明：

  • IQsim.omv：10,000 筆模擬 IQ 分數
  • 使用 NORM(100, 15) 函數生成（理論完美常態）

示範步驟：

  1. 開啟 IQsim.omv
  1. Exploration → Descriptives → 選擇 IQsim 變項
  2. 查看 Mean、SD、Histogram

預期結果：

  • Mean ≈ 100, SD ≈ 15
  • Histogram 呈現對稱鐘型曲線

Part 3：樣本資料的常態性檢定🧠👨‍💻

問題：現實資料真的是常態嗎？

理想：IQsim 是用 NORM 函數生成的，理論上完全符合常態分佈

現實：大部分真實資料都不完全符合常態分佈

  • 可能有偏態（左偏或右偏）
  • 可能有峰度問題（太尖或太平）
  • 可能有離群值

因此我們需要：

  1. 視覺判斷：Q-Q Plot
  2. 統計檢定：Shapiro-Wilk Test

方法 1：Q-Q Plot（分位數-分位數圖）

原理：比較「實際資料的分位數」與「理論常態分佈的分位數」

解讀規則：

  • 點集中在斜線上 → 資料符合常態分佈
  • 點偏離斜線 → 資料不符合常態分佈
    • 左下角翹起：右偏（正偏）
    • 右上角翹起：左偏（負偏）
    • S 型曲線：峰度問題

jamovi 示範：產生 Q-Q Plot

操作步驟：

  1. Exploration → Descriptives
  2. 示範變項：IQsim,aflsmall_margins
  3. 勾選 Plots 區塊：
    • ✓ Q-Q plot

觀察重點：

  • IQsim 的點是否集中在斜線上？
  • LAB重點：個人資料的 RT_ms,Total_Score

方法 2：Shapiro-Wilk 檢定

原理：統計檢定資料是否來自常態分佈

虛無假設（\(H_0\)）：資料符合常態分佈

對立假設（\(H_1\)）：資料不符合常態分佈

判斷規則：

  • p > 0.05 → 無法拒絕 H₀，資料可能符合常態（保守結論）
  • p < 0.05 → 拒絕 H₀，資料顯著偏離常態

jamovi 示範：執行 Shapiro-Wilk 檢定

操作步驟：

  1. Exploration → Descriptives
  2. 示範變項：IQsim,aflsmall_margins
  3. 勾選 Statistics 區塊：
    • ✓ Shapiro-Wilk

結果解讀：

  • W 統計量：越接近 1 越符合常態
  • p 值：IQsim 預期 p > 0.05（不能拒絕理論常態性）

重要警告：樣本數的影響

Shapiro-Wilk 檢定的限制：

  • 樣本數小（N < 50）：不容易檢測出偏離常態（容易漏判）
  • 樣本數大（N > 1000）：非常容易檢測出微小偏離（過度敏感）

建議：

  • 結合 Q-Q Plot 視覺判斷
  • 大樣本的微小偏離不影響後續分析

原則：檢測有無顯著偏離\(\neq\)符合/不符合常態性

Part 4：實作 Z 分數🧠👨‍💻

Z 分數：資料的標準化

問題：如何比較不同單位的資料？

  • 學生 A：甲氏智力測驗 175 分
  • 學生 B：乙氏智力測驗 70 分

解法：轉換為「距離平均數幾個標準差」

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

Z 分數的意義：

  • Z = 0：正好等於平均數
  • Z = 1：比平均數高 1 個標準差
  • Z = -2：比平均數低 2 個標準差

為何要用 Z 分數？

統計意義：資料殘差(\(X - \bar{X}\))的標準化(\(S\))

實用價值：

  • 將不同單位的資料轉換為「標準化分數」
  • 判別異常數值（Z > 3 或 Z < -3 通常視為離群值）
  • 比較不同資料集的相對位置
  • 為後續的推論統計做準備

計算方法：使用 jamovi 的 Compute 功能

方法 1：使用內建 Z 函數

操作步驟：

  1. Data → Compute
  2. 建立新變數名稱： IQsim_Z
  3. 輸入公式： Z(IQsim)

這個公式會自動： - 計算 IQsim 的平均數（\(\mu\)） - 計算 IQsim 的標準差（\(\sigma\)） - 套用公式 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

方法 2：分解計算

  1. 計算平均數（Data → Compute）：
    • 變數名稱：aflsmall_margins_Mean
    • 公式：VMEAN(aflsmall_margins)
  2. 計算標準差：
    • 變數名稱：aflsmall_margins_SD
    • 公式：VSTDEV(aflsmall_margins)
  3. 手動計算 Z 分數：
    • 變數名稱：aflsmall_margins_Z
    • 公式：(aflsmall_margins - aflsmall_margins_Mean) / aflsmall_margins_SD

驗證結果

比較兩種方法：

  • IQsim_Z（內建函數）
  • aflsmall_margins_Z（分解計算）

預期結果：用兩種變項的Z分數製作Q-Q plot，只有IQsim_Z會逼近常態分佈！

Z 分數分佈的特性： - 平均數 = 0 - 標準差 = 1 - 範圍大約在 -3 到 +3 之間

用Z分數辨識異常數值

異常數值的判斷準則（經驗法則）：

  • |Z| > 3：異常離群值（需特別注意）
  • |Z| > 2.5：可疑離群值（可考慮排除）
  • |Z| < 2：正常數值範圍

jamovi 操作示範：

  1. 建立計算變項Outlier_Verify
  2. 使用 Filter 功能：-3 < Z(IQsim) < 3
  3. 使用Frequency Table檢視符合Filter的資料點個數

Z 分數與常態分佈的關係

68-95-99.7 法則（用 Z 分數表示）：

  • 68% 資料落在 Z = -1 到 Z = +1 之間
  • 95% 資料落在 Z = -2 到 Z = +2 之間
  • 99.7% 資料落在 Z = -3 到 Z = +3 之間

實用意義：

  • 如果你的 Z 分數是 2.5，表示你贏過約 99% 的人
  • 如果 Z 分數是 -1.5，表示你輸給約 93% 的人

Part 5：作業說明

作業任務：回頭檢驗你的資料

目標：對 W4 的個人化資料進行常態性檢定

步驟：

  1. 已經檢核討過的 W04_Lab.omv，另存為 W07_Lab.omv
  2. 對 Total_Score 和 RT_ms 進行常態性檢定：
    • Exploration → Descriptives（Q-Q Plot + Shapiro-Wilk）
  3. 計算 Z 分數：
    • 使用計算變項/轉換變項建立標準化分數

繳交要求

檔案 1：學號_姓名_W07_Lab.omv

  • Descriptives 分析結果（Q-Q Plot + Shapiro-Wilk）
  • 包含 Z 分數計算變數（Total_Score_Z、RT_ms_Z）

檔案 2：學號_姓名_W07_Report.docx

  • 分析結果：置入 Q-Q Plot 與 Shapiro-Wilk 表格
  • 報告寫作：以APA寫作格式描述分析結果
  • 反思問題（3 題）

檔案 3：學號_姓名_W07_Score_QQ.png - 從報表匯出Total_Score的Q-Q Plot PNG檔

檔案 4：學號_姓名_W07_RT_QQ.png - 從報表匯出RT_ms的Q-Q Plot PNG檔

繳交期限：本週上課結束前

反思問題

  1. 從 Q-Q Plot 判斷，你的RT_ms與Total_Score 是否符合常態分佈？若不符合，是正偏還是負偏？

  2. Shapiro-Wilk 檢定結果解讀：你的RT_ms與Total_Score之 p 值是多少？支持還是反對常態性假設？為什麼？

  3. 你認為為什麼現實資料很少符合常態分佈？

小結與展望

本週核心概念

  1. 從描述到推論：統計推論是「機率的信號」
  2. 常態分佈：自然界最普遍的機率模型
  3. 常態性檢定：
    • 視覺判斷：Q-Q Plot
    • 統計檢定：Shapiro-Wilk
  4. 理解原理：手動建立理論百分位

下週預告：中央極限定理

下週問題：

  • 即使母群不是常態，為何抽樣平均數會趨近常態？
  • 樣本數 N 對抽樣分佈有什麼影響？

示範資料：繼續使用 IQsim.omv 的抽樣實驗

課後資源

電子書：

補充論文（W11 預告）：

Zhang et al. (2025). Watching videos of a drawing hand improves students’ understanding of the normal probability distribution. Memory & Cognition. 53, 262–281. https://doi.org/10.3758/s13421-024-01526-7

Q & A